Geometrikus számtan
2013/08/15 17:05
1185 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.

A grafikus szerkesztések alkalmazása különböző számtani műveletek elvégzéséhez több, mint meglepő, pedig segítségével nagyon érdekes és egyszerű megoldásokhoz juthatunk.

Sokak szerint a "számtan" és a mértan összekapcsolását Pitagorasznak tulajdoníthatjuk. A grafikus módszerek kel való számolás azonban csak aXIX. században alakult ki, és azonnal be is került a gyakorlati felhasználás területére.

Gyökvonás

Az első módszer

A 10. osztályos tananyagban szerepel a magasságtétel, talán sokan emlékeznek is még rá. Ez adja az alapot az első módszerhez. Ha mégsem emlékezne rá valaki, akkor így hangzik: Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe az átfogó két szeletének:

magassagtetel

Ha a p=1, és a q éppen azzal az n számmal egyenlő, amelyből négyzetgyököt kell vonni, akkor az m2=1*n, azaz m éppen az n négyzetgyökével egyenlő.

gyok

A második módszer

Fermat neve sok esetben tűnik fel  - és nem csak a róla elnevezett sejtés kapcsán- a matematika különböző területein. Tőle származik az a tétel, hogy minden egész szám vagy teljes négyzet, vagy felbontható két vagy három vagy esetleg négy négyzetszám összegére. Pl.: 42=12+42+52=1+16+25.
Ez a tétel azt is jelenti, hogy minden egész számot fel lehet bontani teljes négyzetek összegére, azután pedig ezekből gyököt lehet vonni, felhasználva a derékszögű háromszögekre vonatkozó Pitagorasz-tételt.

Nézzük meg, az fentiekben említett 42 esetén ezt, vonjunk négyzetgyököt a 42-ből.

A szerkesztés menete a következő:
1. Szerkesszünk egy derékszögű háromszöget, amelynek befogói 1 és 4 egység hosszúságúak. Ennek a derékszögű háromszögnek az átfogója √17-tel egyenlő. Legyen ez az átfogó a következő derékszögű háromszög egyik befogója, míg a másik befogó legyen éppen 5 egység hosszú. Az így kapott második derékszögű háromszög átfogója a keresett √42.

gyok42

Előfordulhat olyan eset is, hogy a keresett szám többféleképpen is felbontható teljes négyzetek összegére. Ilyenkor az előforduló esetek közül ki kell választanunk a legalkalmasabbat.

Nézzünk egy példát:

Keressük 28 gyökét!
Ehhez alkossuk meg a lehetséges felbontásokat:
28=12+32+32+32
28=22+22+22+42
28=12+12+12+52
28=82-62

A négy felbontás közül a legalkalmasabb az utolsó lesz, ehhez elegendő egy olyan derékszögű háromszöget szerkeszteni, amelynek az átfogója 8 egység hosszú, míg az egyik befogója 6 egységnyi. A másik befogó így éppen a keresett √28 lesz!

Más megoldások esetén a derékszögű háromszögek lépcsős egymásra építését használhatjuk, itt az első háromszög mindkét befogója egységnyi hosszúságú.

gyokvonas

Egy ilyen háromszög átfogója √2. A mellékelt ábra szerint egymásra építve a háromszögeket, sorban √3-mal, a √4-gyel, a √5-tel (és így tovább) egyenlő átfogókat kapunk.

Természetesen nem csak papíron lehet ezeket a szerkesztéseket elvégezni, hanem sok matematikai szoftver is alkalmas erre az érdekes feladatra.

További érdekes oldalak 

A számtani és mértani közép közötti összefüggés

Geometry with MicroStation Constructing Square Roots (angol nyelvű videó) 

Zsigó Zsolt cikke

Csoportot ajánlunk

Kapcsolódó oldalak

Scientix A természettudományos oktatás közössége
All you need is code Minden a kódolás tanulásáról
A National Geographic A National Geographic honlapja.
Interpress Magazin Az IPM honlapja archívummal
Világtudomány.hu A magyar és nemzetközi tudományos élet hírei
Űr világ Asztronautikai hírportál