Miért daráljuk a kávét?
2014/01/03 08:00
549 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.

Igen, miért daráljuk a kávét, hiszen a kávé ezzel egyáltalán nem lesz több. Ez igaz, azonban ha a kávészemeket szemesen tesszük a vízbe, akkor a kávéra örökké várhatunk. Ugyanis ekkor a víz nem tudja megfelelően kioldani a szemekből a koffeintartalmat.

Whole-Bean-Ground-Coffee

A kávészem olyan, mint egy össze tekeredett sündisznó, amely támadható felületét legkisebbre igyekszik összehúzni. A darálás során azonban a felületet a lehető legnagyobbá tesszük.

Hogy a problémát jól tudjuk modellezni, képzeljük úgy, mintha a kávészemek kockák lennének, és az őrléssel ezekből kisebb kockákat nyernénk.

Cube_vector_outline_by_13luemoons

A felaprózódási törvény

Az alapkockát három vágással nyolc kis kockára osztjuk: 1,2, ...,  8.

Az alapkocka éle legyen a, így a térfogata V=a*a*a= a3 , tehát V= 23 = 8m3, ha a= 2 cm. Ha ezt a kockát be akarjuk csomagolni, akkor 6 darab a*a=a2 felületű négyzetet kell befednünk a csomagolóanyaggal, így e kocka felülete A= 6a2 (=6*22 = 24 cm2).

Mi a helyzet a három vágás után kapott 8 kis kocka térfogatával és felületével, ha az él hossza a’ = a/2?

Össztérfogatuk egyenlő a kocka alaptérfogatával.

Összfelületük  (Aö) azonban nagyobb lesz, ha a tömbből kivesszük a kockácskákat és egymás mellé helyezzük őket úgy, hogy mind a 6 lapjuk szabadon legyen, mint az 5-ös kocka ez elülső, a fedő és a bal oldallapjával; marad 3 oldala vagyis éppen annyi, mint amennyivel növekedett a felülete.

8kocka

A 8 "szabad" kocka összfelülete tehár kétszer akkora mint , „a kockában”, azaz Aö(a') = 8*A(a') = 2*A(a) = 48 cm2.. [Itt Aö (a') a kockák összfelületét és A(a') egyetlen a' élű kocka felületét jelenti] Folytassuk a játékot, és vágjuk valamennyi kockácskát három-három újabb vágással további 8 kockára: a 8*8 = 64 darab a'' élű kocka össztérfogata ugyan az marad, Aö (a'') összfelületük azonban ismét megkétszereződött, az alapkocka 24 cm2-nyi felületéhez képest megnégyszereződött, tehát Aö (a'') = 96 cm2.

Tekintsük át az eredményeket még egyszer. Az alapkockát (a) 8 kockára vágtuk (a' = a/2), és ezek mindegyikét ismét 8 kockára vágtuk (a'' = a'/2). Ekkor


             
Jelölje ki az élek hosszkisebbedését, k = a/a' = a'/a''  (itt k= 1/2) és a z az osztás által nyert kockák számát. Ekkor a következő táblázatot kapjuk:

A következő felaprózódási törvényszerűséget ismerjük fel (figyeld utolsó oszlopot!):

Ha az alaptest z= n3 egybevágó résztestre osztjuk, akkor ezek összfelülete az alapfelület n-szerese. Egy részecske hosszkicsinyítésének mértéke ekkor k=1/n.

Ez a törvény nemcsak kockára érvényes, hanem minden olyan testre, amelyik ugyanígy bontható fel; ilyen például a gömb. Egy 10 cm átmérőjű golyó 5 = 10*1/2 cm átmérőjű golyókból 23 = 8 darabot tartalmaz (itt n=2). A számításokat nem részletezzük.

Próbáljuk ki a módszerünket!

Készítsünk egy 1 köbméteres farönkből kis, 1 mm élű kockákat.  A hosszkicsinyítés k = 1/n = 1/1000, mivel 1 mm = 1/1000 m. Így az összfelület Aö (n) = 1000-szer akkora lesz. A fatömb felülete 6 m2, így az aprítás után a felület A=6000 m2 = 60 ár. Ekkor hány kockácska lesz? A törvényünk szerint z = n3 = 10003 = 1000 millió = 1 milliárd.

Zsigó Zsolt cikke

Csoportot ajánlunk

Kapcsolódó oldalak

Scientix A természettudományos oktatás közössége
All you need is code Minden a kódolás tanulásáról
A National Geographic A National Geographic honlapja.
Interpress Magazin Az IPM honlapja archívummal
Világtudomány.hu A magyar és nemzetközi tudományos élet hírei
Űr világ Asztronautikai hírportál