Adott az ABC háromszög, valamint a vele tengelyesen tükrös helyzetű A1B1C1 háromszög. Húzzunk párhuzamost A1-en keresztül BC-vel, B1-en keresztül AC-vel, végül C1-en keresztül AB-vel. Mutassuk meg, hogy ez a három egyenes egy ponton halad át! (Euklides-fájl)
A feladat megoldása
Az 1. ábrán az ABC háromszög t egyenesre vonatkozó tükörképe az A1B1C1 háromszög. Az ábrán látható, hogy a feladat szövegében szereplő egyenesek valóban egy ponton (az ábrán ezt a pontot M-mel jelöltük) haladnak át. Az ábrán a szaggatott egyenesek párhuzamosak az ABC háromszög megfelelő színnel felvett oldalával.
1. ábra
A 2. ábrán annak igazolását láthatjuk, hogy a feladatban szereplő egyenesek valóban egy pontban metszik egymást. Ezt azáltal bizonyíthatjuk, hogy megmutatjuk, hogy bármely két egyenes az A1B1C1 háromszög körülírt körén metszi egymást. Tekintsük például az A1-en át BC-vel, valamint a C1-en át AB-vel húzott párhuzamos egyeneseket, és jelöljük a metszéspontjukat M-mel! A tükrözés megtartja a szögek nagyságát, ezért
továbbá a párhuzamosság miatt ez a szög megjelenik az M pontnál is (ld. ábra). Ebből következik, hogy
amiből adódik, hogy A1B1C1M húrnégyszög, vagyis az A1-en át BC-vel, valamint a C1-en át AB-vel húzott párhuzamosok valóban az A1B1C1 háromszög körülírt körén metszik egymást.
Némileg egyszerűbb annak igazolása, hogy a B1-en át AC-vel, valamint az A1-en át BC-vel húzott párhuzamosak szintén a körülírt körön metszik egymást, hiszen az A1B1 szakasz e két egyenes metszéspontjából, valamint a C1 pontból is ugyanakkora szög alatt látszik. (a 2. ábra jelöléseit használtuk.) Ebből a feladat állítása már következik.
2. ábra
