Dinamikus geometriai módszerek alkalmazása a tengelyes tükrözés tanításában
Ebben a feladatsorban a tengelyes tükrözés alkalmazásával megoldható feladatokat tűzünk ki. A feladatsor feladatai egymásra épülnek. A feladatokat dinamikus geometriai eszközökkel oldjuk meg. Minden feladathoz csatoltuk annak megoldását, valamint egy letölthető Euklides-fájlt, amelyben a megoldás lépésről-lépésre nyomon követhető.
Úgy gondoljuk, hogy a geometriai transzformációk tanításánál hasznos segédeszköz lehet interaktív geometriai szerkesztőprogramok alkalmazása. Természetesen fontosnak tartjuk, hogy a diákoknak tényleges szerkesztési rutinjuk is legyen, de amennyiben ezzel a rutinnal már rendelkeznek, úgy az alkalmazások során (például feladatok megoldásában, vagy a transzformációk egymás utáni elvégzésének tanulmányozása esetén) előnyösnek tartjuk dinamikus eszközök alkalmazását. Ezzel a feladatsorral erre igyekszünk példát mutatni.
A feladatokat igyekeztünk úgy összeállítani, hogy azok nyitott végűek, továbbgondolhatók legyenek. Ezzel kettős célt szeretnénk elérni. Egyrészt a tanulók problémafelvető képességét kívánjuk fejleszteni, másrészt példát szeretnénk mutatni arra, hogy egy egyszerű feladat általánosításával milyen "bonyolult" szerkezetű problémák is kezelhetővé válnak azáltal, hogy a problémakör közös forrását megtaláljuk.
A geometriai transzformációk tanításában a dinamikus eszközök alkalmazásának előnyét abban látjuk, hogy az interaktivitás kihasználásával a tanulók konkrét tapasztalatokat gyűjthetnek, ezáltal lehetővé válik számukra a megoldáshoz vezető úton az első lépések megtétele. A tapasztalatok sejtések megfogalmazására serkenti a diákokat, amelyek mellett érveket (esetleg a sejtés cáfolására ellenérveket) kell felsorakoztatni. Ilyen érvek megtalálásához további lehetőségeket kínál az interaktivitás, mely ily módon kiváló eszköz lehet a diákok problémamegoldó készségének fejlesztésére.
Az interaktivitás másik előnyét a feladatok elemzésében látjuk. A bázispontok mozgatásával a bemenő adatok kölcsönös helyzete könnyen módosítható, az új adatoknak megfelelő megoldás azonnal látható. Így lehetőség van a megoldhatóság, valamint a határesetek részletesebb vizsgálatára.
A kidolgozott feladatokat további feladatok követik, melyek dinamikus eszközökkel való feldolgozását javasoljuk érdeklődő olvasóinknak.
Feladatok
1. feladat
Adott egy szögtartomány belsejében egy A pont. Szerkesszünk minimális kerületű ABC háromszöget, amelynek B és C csúcsa illeszkedik a szög egy-egy szárára! (Euklides fájl)
2. feladat
Rögzítsük egy hegyesszögű háromszög valamely oldalának egy U belső pontját. Szerkesszünk minimális kerületű UVW háromszöget, amelynek V és W csúcsa a háromszög egy-egy (U-t nem tartalmazó) oldalára illeszkedik! (Euklides fájl)
3. feladat
Az előző feladatban szereplő minimális kerületű háromszög kerülete mely U pont esetén lesz a legkisebb? (Euklides fájl)
4. feladat
Vizsgáljuk meg a 2. feladat megoldhatóságát derékszögű, illetve tompaszögű háromszög esetén! (Euklides fájl)
5. feladat
Mutassuk meg, hogy a hegyesszögű háromszög talpponti háromszögének szögfelező egyenesei az eredeti háromszögnek magasságvonalai! (Euklides fájl)
6. feladat
Mutassuk meg, hogy a hegyesszögű háromszög talpponti háromszögének oldalai merőlegesek az eredeti háromszög köré írt körének egy-egy csúcshoz tartozó sugarára! Oldjuk meg ez alapján a 2. feladatot! (Euklides fájl)
7. feladat
Egy téglalap valamelyik oldalán rögzítsünk egy belső pontot. Írjunk a téglalapba négyszöget, amelynek egyik csúcsa a rögzített pont és kerülete a lehető legkisebb! Bizonyítsuk be, hogy e minimális kerületű négyszög kerülete független a pont választásától! (Euklides fájl)
8. feladat
Egy húrnégyszög valamelyik oldalán rögzítsünk egy belső pontot. Szerkesszünk a húrnégyszögbe olyan négyszöget, amelynek egyik csúcsa a rögzített pont, továbbá kerülete a lehető legkisebb! (Euklides fájl)
