A feladat

Az y = 0, y = N,x = 0 és x = N egyenletű egyenesek által határolt téglalapból véletlenszerűen választunk egy pontot. (N pozitív valós szám.) Mennyi annak a valószínűsége, hogy olyan pontot választunk, amelynek első koordinátája egy téglalap kerülete, második koordinátája pedig ugyanannak a téglalapnak a területe? Ennek a feladatnak az előzménye egy sok évvel ezelőtti versenyfeladat. Pontos feljegyzések hiányában sajnos a forrást megjelölni nem tudjuk.

Az előzmény-feladat

Határozzuk meg a derékszögű koordinátarendszer síkjában azoknak a pontoknak a halmazát, amelyekre igaz, hogy létezik olyan téglalap, amelynek kerülete a pont első koordinátájával, területe pedig a második koordinátájával egyenlő! Legyen a keresett pont P(x,y)! Nyilvánvaló, hogy x>0 és y>0. A keresett téglalap oldalait a-val és b-vel jelölve, teljesülni kell a következő összefüggéseknek:

2(a+b)=x
ab=y

Egy egyenletrendszert kaptunk, amelyben szereplő ismeretlenek a és b. A keresett P pont létezésének feltétele az, hogy ennek az egyenletrendszernek legyen megoldása.
A megoldás során egy másodfokú egyenlethez juthatunk, aminek diszkriminánsának nemnegatívnak kell lenni. Ebből adódik a következő egyenlőtlenség:
Ebből látszik, hogy a keresett pontok az első síknegyed azon pontjai, amelyek a parabola és az x-tengely között vannak.
1. ábra (A Derive programmal készült) Térjünk rá az eredeti probléma megoldására! Két esetre kell bontani a problémát! Hogy miért, az leszűrhető lesz az itt következő gondolatmenetből.

Ha N≤16, akkor a következő ábra szemlélteti a helyzetet:
2. ábra A geometriai valószínűségi mezőről tanultak szerint a keresett valószínűség:
Ha N>16, akkor kissé bonyolultabb a számolás:
3. ábra Ekkor a valószínűség:
Itt, most abbahagyjuk a probléma vizsgálatát, de nem mondhatjuk, hogy befejezzük azt. Sok továbblépés képzelhető el, csak egyet említünk meg: Az itt megkapott P(N) függvény vizsgálata sok tanulsággal szolgálhat.