Egy valószínűség-számítási feladat előzményei és következményei
Tarcsay Tamás
2005/04/15 14:09
1270 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Ebben az írásban egy olyan feladatot mutatunk be, amelyhez kapcsolódva különböző matematikai területeken lehet kalandozni.

A feladat

Az y = 0, y = N,x = 0 és x = N egyenletű egyenesek által határolt téglalapból véletlenszerűen választunk egy pontot. (N pozitív valós szám.) Mennyi annak a valószínűsége, hogy olyan pontot választunk, amelynek első koordinátája egy téglalap kerülete, második koordinátája pedig ugyanannak a téglalapnak a területe? Ennek a feladatnak az előzménye egy sok évvel ezelőtti versenyfeladat. Pontos feljegyzések hiányában sajnos a forrást megjelölni nem tudjuk.

Az előzmény-feladat

Határozzuk meg a derékszögű koordinátarendszer síkjában azoknak a pontoknak a halmazát, amelyekre igaz, hogy létezik olyan téglalap, amelynek kerülete a pont első koordinátájával, területe pedig a második koordinátájával egyenlő! Legyen a keresett pont P(x,y)! Nyilvánvaló, hogy x>0 és y>0. A keresett téglalap oldalait a-val és b-vel jelölve, teljesülni kell a következő összefüggéseknek:

2(a+b)=x
ab=y

Egy egyenletrendszert kaptunk, amelyben szereplő ismeretlenek a és b. A keresett P pont létezésének feltétele az, hogy ennek az egyenletrendszernek legyen megoldása.
A megoldás során egy másodfokú egyenlethez juthatunk, aminek diszkriminánsának nemnegatívnak kell lenni. Ebből adódik a következő egyenlőtlenség:
Ebből látszik, hogy a keresett pontok az első síknegyed azon pontjai, amelyek a parabola és az x-tengely között vannak.
1. ábra (A Derive programmal készült) Térjünk rá az eredeti probléma megoldására! Két esetre kell bontani a problémát! Hogy miért, az leszűrhető lesz az itt következő gondolatmenetből.

Ha N≤16, akkor a következő ábra szemlélteti a helyzetet:
2. ábra A geometriai valószínűségi mezőről tanultak szerint a keresett valószínűség:
Ha N>16, akkor kissé bonyolultabb a számolás:
3. ábra Ekkor a valószínűség:
Itt, most abbahagyjuk a probléma vizsgálatát, de nem mondhatjuk, hogy befejezzük azt. Sok továbblépés képzelhető el, csak egyet említünk meg: Az itt megkapott P(N) függvény vizsgálata sok tanulsággal szolgálhat.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten