A játék szabályai a következők:
Adott egy kavics halom. amelyben ismert számú kavics van Két játékos felváltva vehet el valahány kavicsot. A kezdő játékos tetszőleges számú kavicsot elvehet, de az összest nem. Legalább1 kavicsot minden lépésben el kell venni. Minden további lépésben mindegyik játékos legfeljebb az előző lépésben elvett kavicsok számának a kétszeresét veheti el. A játékot az nyeri, aki az utolsó kavicsot veszi el. Az említett web oldal itt található. Ha a számítógép ellen akarjuk játszani a játékot, akkor léphetünk erre az angol nyelvű oldalra, de e cikk végén további, a témával foglalkozó oldalakra hívjuk fel a figyelmet.
Ha sokat játsszuk a játékot, felmerülhetnek bennünk kérdések:
- Hogyan lehet eredményesen játszani ezt a játékot.
- Valakinek létezik nyerő stratégiája?
- Ha igen a válasz az előző kérdésre, akkor kinek van nyerő stratégiája, a kezdőnek vagy az ellenfelének?
- Az előző kérdésre adható válasz függ-e attól, hogy mennyi kavics van induláskor a halomban? (Megjegyezzük, hogy nyerő stratégiája van annak a játékosnak, aki tud úgy játszani, úgy hogy ellenfele bármilyen, a szabályoknak megfelelő lépéssorozata estében ő megnyeri a játékot.)
A dörzsöltebb játszadozók már a játék nevéből is sejthetnek valamit. A jól ismert Nim játék jelzőként egy ismert matematikus nevét kapta. Miről is nevezetes Fibonacci? Egy nevezetes sorozat őrzi a nevét, az ebben a sorozatban szereplő számokat pedig Fibonacci számoknak nevezzük. Ezeknek a számoknak lehet köze a most tárgyalt játékunkhoz?
Nézzünk konkrét példákat! Legyen n a kavics halomban kezdetben levő kavicsok száma! (Nyilvánvaló, hogy n nem lehet kisebb kettőnél.)
- Ha n = 2, akkor kezdő játékos csak 1 kavicsot vehet el, ekkor a második játékos elveheti a maradék 1 kavicsot, tehát a második játékosnak nyerő stratégiája van.
- Ha n = 3, akkor a kezdő játékos 1 vagy 2 kavicsot vehet el ekkor a második játékos már elveheti a maradék kavicsokat, tehát neki nyerő stratégiája van
- Ha n = 4, akkor a kezdő játékos elvehet 1 kavicsot, ezzel a második játékost hozza olyan helyzetbe, amiben n = 3 esetben a kezdő volt, így most a kezdő játékosnak van nyerő stratégiája.
Az n = 5 esetet a következő fa diagram szemlélteti:
Látható, hogy a második játékos tud úgy játszani, hogy bármit tesz a kezdő játékos, ő nyer, így a második játékosnak van nyerő stratégiája.
Nézzük meg az n = 6 esetet mutató fát!
Látható, hogy ebben az esetben a kezdő játékosnak van nyerő stratégiája.
Végül vizsgáljuk az n = 7 esetet bemutató fát!
Ebben az esetben is a kezdő játékosnak van nyerő stratégiája.Ebben az esetben is a kezdő játékosnak van nyerő stratégiája.Összefoglalva, a kezdő játékosnak az n =4, 6, 7 esetekben nyerő stratégiája volt, míg a második játékosnak az n = 2, 3, 5 esetekben nyerő stratégiája volt!Összefoglalva, a kezdő játékosnak az n =4, 6, 7 esetekben nyerő stratégiája volt, míg a második játékosnak az n = 2, 3, 5 esetekben nyerő stratégiája volt!Talán nem meglepő a korábbi előkészítés után, hogy a 2, 3, 5 Fibonacci számok!Talán nem meglepő a korábbi előkészítés után, hogy a 2, 3, 5 Fibonacci számok!A cikkben szereplő fákat különböző n-ekre el lehet készíteni, és ezek alapján – esetleg – közelebb lehet jutni a korábban feltett négy kérdés megválaszolásához.A cikkben szereplő fákat különböző n-ekre el lehet készíteni, és ezek alapján – esetleg – közelebb lehet jutni a korábban feltett négy kérdés megválaszolásához.
