Geometriai inverzióval is megoldható feladatok
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Szerkesztési feladatok
- Adott a síkban két kör és egy pont. Szerkesszünk olyan kört, ami átmegy az adott ponton, és érinti az adott köröket.
- Szerkesszünk három adott kört érintő kört.
- Adott egy pont, egy kör és egy egyenes. Szerkesszünk olyan kört, ami átmegy az adott ponton, érinti az adott kört és az adott egyenest!
- Adott két egyenes (a és b) és egy pont (P). Szerkesszünk olyan kört, amely átmegy a P-n, érinti a-t, és középpontja a b-n van.
- Adott egy kör és két pont. Szerkesszünk olyan kört, ami átmegy a két adott ponton, és az adott kört merőlegesen metszi!
- Adott a síkban 3 különböző pont: A, B, és C. Szerkesszük meg azt a kört, amely átmegy C-n és amelyikre vonatkozóan A inverz képe B!
Bizonyítandó állítások
- Adva van k kör belsejében két pont, A és B. Bebizonyítandó, hogy van olyan kör, mely az A és B pontokon halad keresztül, és mely egészen a k belsejében fekszik. (MATEMATIKA VERSENYTÉTELEK 17/XXIV./3)
- Egy O pólusú geometriai inverzió esetén P képe P' és Q képe Q'. A pólus nincs a PQ egyenesen. Bizonyítsuk be, hogy az OPQ háromszög hasonló az OP'Q' háromszöghöz!
- Legyen az inverzió pólusa O, a sík két O-tól különböző pontja Q és S, ezeknek képei Q' és S'. Bizonyítandó, hogy Q'S' : QS = OS' : OQ = OQ' : OS. (KÖMAL 1971. január)
- Adott a síkban 3 különböző pont: A, B, és C. Legyen k az A-n átmenő B-t C-be vivő, l a B-n átmenő C-t A-ba vivő, m pedig a C-n átmenő, A-t B-be vivő inverzió alapköre. Mutassuk meg, hogy van két pont amelyen mindhárom kör átmegy!
- Adott a síkban két kör, melyeknek van közös belső érintőjük. Mutassuk meg, hogy van két olyan pont a síkban, melyeken e körök tetszőleges közös érintőjének az érintési pontok közti szakasza fölé rajzolt Thálész kör átmegy.
- Legyen k az ABC háromszögbe írt kör, melynek középpontja O, érintse k az oldalakat rendre A*, B*, C* pontokban. Mutassuk meg, hogy
- az A, B, C pontok k-ra vonatkozó inverzei felezik a B*C*, C*A*, A*B* szakaszokat,
- az ABC háromszög oldalegyeneseinek k-ra vonatkozó inverzei az A*O, B*O, C*O szakaszok feletti Thálész körök,
- az ABC köré írható k* kör inverze az A*B*C* háromszög Feuerbach köre.
Problémák
- Adott egy tetszőleges háromszög. Van-e olyan geometriai inverzió, ami a háromszög csúcsaihoz egy szabályos háromszög csúcsait rendeli?
- Adott a síkban 3 különböző pont: A, B, és C. Jellemezzük azokat a köröket, melyekre invertálva az adott pontokat, a kapott A', B' és C' pontokra A'C' = B'C' teljesül!
- Az MAB egyenlő szárú háromszög (MA = MB) M csúcsán két egyenes megy át: u és v. Az A pontból az u-ra és a B pontból a v-re bocsátott merolegesek metszéspontja W. Az A-ból az MA egyenesre állított merőleges egyenes az u-t U-ban metszi, B-ből az MB egyenesre állított merőleges egyenes a v-t V-ben metszi. Adjuk meg az UV és az MW egyenesek hajlásszögét!
