A geometria két fontos objektuma az egyenes, és a kör. Az egyenest vonalzóval rajzoljuk meg, a kört körzővel. Ez a két görbe a matematika alapvető görbéi: az egyik a "legegyenesebb", ami csak létezhet, a másik a "legkerekebb": a legtökéletesebben kerek, mivel a görbülete mindenütt ugyanakkora.
Az euklideszi geometria
Az egyenes és a kör nagyon egyedi tulajdonságokkal rendelkező matematikai objektumok, ezt a különlegességet már az ókori görögök is érezték, amikor megfogalmazták azt a követelményt, hogy a geometriai szerkesztéseket csak ezekkel, tehát körzővel és vonalzóval elvégezni. Ez a korlátozás jó néhány előre nem sejtett eredményhez vezetett a geometriai alakzatok elméletében.
Euklidesz görög matematikus az Elemek című munkájában fogalmazta meg azokat az eljárásokat, amelyeket a geometriai szerkesztések során lehet használni. A szerkesztésekhez egyélű vonalzó és körző használható.
A következő műveletek végezhetőek el:
- két adott ponton keresztül egyenes húzható
- két pont távolsága körzőnyílásba vehető
- adott pont körül, adott sugárral kör rajzolható
- kijelölhető két egyenes metszéspontja
- kijelölhető kör és egyenes metszéspontja
- kijelölhető két kör metszéspontja
A másik híres ókori görög matematikus Apollóniosz is kikötötte, hogy a szerkesztési feladatok során csak körző és vonalzó használható.
Euklideszi műveletek véges sokszori alkalmazásával nem szerkeszthető az ellipszis, a parabola, illetve a hiperbola. Ezen síkgörbék véges számú pontja megszerkeszthető, de maguk a görbék nem. Hasonlóan nem végezhető el euklideszi módon például a szögharmadolás vagy a π hosszúságú szakasz szerkesztése sem.
A görbület
Ha a kerékpár kormányát elfordítjuk, és ebben a helyzetben változatlanul tartjuk, akkor kört írunk le. Másrészt azonban ez a két különböző vonal, az egyenes, és a kör, nagyon közel áll egymáshoz, mivel mindkettő állandó görbületű görbe. Ez közérthetően úgy is mondhatnánk, hogy amelyeket rögzített kormánnyal bejárhatunk.
Az egyenesnél ez a görbület nulla, mivel végtelen sugarú körnek is tekinthető. A többi görbének változó a görbülete, pl. az ellipszisnek.
A kör mostohatestvére
Az ellipszissel is gyakran találkozhatunk, például a ferdén szeletelt kolbásznál, vagy egy kerék árnyékánál, vagy egy autó lámpájának fénysávjánál. Más alkalommal is keresztezheti utunkat egy ellipszis, csak legtöbbször észre sem vesszük. A lámpa kör keresztmetszetű, de valóban mindig körnek látjuk? Nem, majdnem mindig ellipszisnek látjuk, mivel azonban tudjuk, hogy a valóságban kör, azt gondoljuk, hogy tényleg körnek látjuk. Tudásunk mindig befolyásolja látásunkat, és a ferdén nézett kerék nemcsak a gyerekek és a régi egyiptomiak rajzain kör alakú. A kör képe legtöbbször ellipszis, és csak merőlegesen nézve látni valódi alakját.
Hogyan rajzoljunk ellipszist?
Az ellipszis definíciója a következő:
Az ellipszis azon pontok mértani helye egy síkon, amelyek a sík két adott pontjától, az F1 és F2 fókuszpontoktól való távolságaik összege állandó. Ez a távolság nagyobb kell legyen, mint a két fókuszpont távolsága. A két pontot fókuszpontnak, vagy gyújtópontnak hívják.
Az ellipszist a fenti definíció alapján könnyen megrajzolható két rajzszög, egy zsinór és egy ceruza segítségével. A rajzszögeket leszúrjuk a fókuszpontokba, a zsinórt lazán a rajzszögekhez csomózzuk. A ceruza hegyével megfeszítjük a zsinórt és úgy rajzolunk vele, hogy a háromszöget alkotó zsinór mindig feszes maradjon. Ekkor a két fókuszponttól húzható sugár összege (a zsinór hossza) állandó marad, így a rajzolt görbe valóban ellipszis lesz.
További érdekes oldalak:
- Ellipszis rajzolása különböző módszerekkel
- Milyen tulajdonságú ponthalmazt nevezünk ellipszisnek?
- Ellipszis rajzolása
- Basic Geometric Constructions
Zsigó Zsolt cikke