Egy szakköri foglalkozáson a geometriai valószínűségi mező tanítása után kitűztük a következő probléma vizsgálatát:

A mellékelt ábrán látható, szabályos négy- illetve nyolcszögekből álló parkettán véletlenszerűen választunk ki egy pontot. Mi annak a valószínűsége, hogy a pont négyzetbe esik? (Gerőcs László, Orosz Gyula, Paróczay József, Szászné Simon Judit: Matematika Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény II. 1635. feladat)

Több érdekes megoldás született.

Ferenc az alábbi módon egybevágó négyzetekre bontotta a parkettázott síkot.
Ezután azt mondta, hogy a választott pont egyenlő valószínűséggel esik bármelyik új négyzetbe, így csak egy új négyzetben vizsgálja a kis négyzetbe esés valószínűségét. Így ezt a valószínűséget megkaphatjuk úgy hogy egy kis négyzet területét elosztjuk egynyolcszög és egy kis négyzet területének összegével.

Ádám más módon bontotta egybevágó négyzetekre a parkettát:
Ferenc előbb vázolt gondolatmenetéhez hasonlóan, ugyanarra az eredményre jutott.

Nagyon érdekesen fogta meg a problémát Gábor. Azt mondta, hogy a parketta kis négyzeteinek száma egyenlő a nyolcszögeinek számával.
Amikor társai ezt kétségbe vonták, párba állítással (bijekció) igazolta is az állítását.
Ebből arra következtetett, hogy az egész (végtelen) parkettán a kis négyzetek területösszegének és a nyolcszögek területösszegének aránya egyenlő egy kis négyzet és egy nyolcszög területének arányával, és így ő is a korábban említett valószínűséget kapta.

Az látható, hogy Gábor gondolatmenete messzire vezetett. A divergens sorok birodalmába jutottunk el.

De mégis válaszolni kellett rá valamit, olyat, ami egy tizedikes gyerek számára érthető, és köze is van a matematikai igazsághoz.

Hogyan reagáltunk volna?

Akinek véleménye van, írja meg nekünk!

Tarcsay Tamás