Ekkor gyakran előfordul, hogy valamelyik diákunk nekünk szegezi azt a kérdést, hogy mire is jó ez az egész. Az egyik legkézenfekvőbb és legigazabb válasz az, hogy a matematikus nem tesz fel, és nem is válaszol ilyen kérdésre, ugyanúgy, ahogy a festő sem nagyon gondolkodik azon, hogy mire is jó a festészet, vagy a zenész sem elmélkedik arról, hogy mire való a muzsika.
Érdemes az érdeklődő diáknak ezt a feleletet adni, de azután hasznos lehet az, ha olyan példákat is mutatunk, amelyekből kitűnik, hogy a komplex számok már a matematikán belül is használhatók problémamegoldásra. Annak köszönhetően, hogy az euklideszi sík vektorainak halmaza és a komplex számok halmaza izomorfak (létesíthető közöttük művelettartó, kölcsönösen egyértelmű ráképezés), geometriai problémák megoldására is használhatunk komplex számokat alkalmazó eszközöket.
Ebben a dolgozatban olyan feladatokat gyűjtöttünk össze, amelyek megoldhatók a fent említett módszerekkel is. Minden problémához egy lehetséges megoldást is csatoltunk.
Hangsúlyozzuk, hogy nem gondoljuk, hogy így kell megoldani ezeket a feladatokat, hanem csak azt, hogy így is lehet. Senkit sem kívánunk rábeszélni az itteni megoldási módokra, csak egy-egy lehetőséget szeretnénk felvillantani.
1. feladat:
Adott egy ABC háromszög. Az AC oldal fölé kifelé rajzolt szabályos háromszög harmadik csúcsa D. A BC oldal fölé kifelé rajzolt 120 fokos egyenlőszárú háromszög szárszögének csúcsa E, az AB oldal felezéspontja F. Az E-nek F-re vonatkozó tükörképe G. Milyen háromszög a DEG háromszög?
1. ábra
Feleltessünk meg az 1. ábrán szereplő pontoknak olyan komplex számokat, amelyeket a megfelelő kisbetűkkel jelöltünk. Legyen f = 0, b = 1 és a = -1. A B-ből E-be az vektornak feleljen meg a t komplex szám. Az origó körüli 60 fokos elforgatásnak feleljen meg a u komplex számmal való szorzás [1].
Algebrai átalakítások után kaphatjuk, hogy
Tekintettel arra, hogy a második tényező 0, adódik, hogy a vizsgált háromszög szabályos.
2. feladat
Az ABCD négyzet AB oldalára befelé és BC oldalára kifelé emeltük az ABP és BCR szabályos háromszögeket. Igazoljuk, hogy a D, P és R pontok kollineárisak (egy egyenesen vannak)!
2. ábra
Az ábrán szereplő pontoknak megfeleltetünk komplex számokat. Legyen b = 0, a = -1 és d = -1 + i. Ebből következően c = i. Legyen az origó középpontú -60 fokos elforgatásnak megfelelő komplex szám v.
Ha elvégezzük a szükséges algebrai átalakításokat, kapjuk, hogy
ami valós szám, így a két vektor párhuzamos. Az állítást bebizonyítottuk.
3. feladat
Az ABC háromszög oldalaira mint alapokra szerkesszünk hasonló egyenlőszárú háromszögeket, az ABX háromszöget befelé, a BXY és CAZ háromszögeket kifelé. Bizonyítsuk be, hogy az X, Y, C és Z pontok vagy kollineárisak, vagy egy paralelogramma csúcsai!
Ennek a feladatnak a megoldását az olvasóra bízzuk.
