Kérem, hogy aki az alábbi cikket olvassa,
fussa át az első részt! Ott egyrészt összefoglaltam az összehasonlító geometria módszerének lényegét és célkitűzéseit, másrészt leírtam néhány támpontot a példákhoz. Ezek a támpontok a sík és a gömb geometriája közti néhány különbséggel kapcsolatosak, amelyeket alább használni is fogunk.
Ez a mostani, második cikk a sokszögek szögösszegével kapcsolatos példákat mutat be. Ismert példagyűjteményekben sok olyan, síkgeometriai feladatot találtam, amelyeknek gömbi átfogalmazása is szépnek és tanulságosnak bizonyult. Remélem, hogy a gyakorló tanár könnyebben vállalja fel az új, más világokba való átlépést, ha tudja, hogy eddigi tapasztalatai, ismeretei új területeken is hasznosíthatók.
Az alábbi példák síkgeometriai változatai Horvay Katalin és Reiman István "Geometriai feladatok gyűjteménye" című, 1969-es könyvéből származnak.
2. példa
(az 1. példa az előző cikkben szerepelt; a könnyebb hivatkozás végett folyamatosan számozom a példákat):
Melyek azok a háromszögek síkon és gömbön, amelyeknél a belső szögek aránya 1:2:3?
Síkon könnyű a dolgunk. A háromszög szögösszege 180°; tehát 180-at osztjuk 6-tal, kapunk 30-at; ezt szorozzuk 2-vel és 3-mal. A háromszög szögei tehát: 30°, 60°, és 90°. Csak az ilyen háromszögek felelnek meg a feladat követelményeinek. Így tehát a megoldást végtelen sok, egymáshoz hasonló síkháromszög adja.
És gömbön?
A háromszögek szögösszege itt 180°és 540° között változhat (háromszög alatt mindig Euler-háromszöget értünk, ahol két csúcsot a rajtuk átmenő főkör nem hosszabb főköríve köti össze). Logikus hát ezekkel a szélső határokkal megpróbálni ugyanazt, amit a síkon 180°-kal végrehajtottunk. Ezek szerint: 180/6=30°, 540/6=90°, tehát a két szélső lehetőség a kívánt háromszögre: a 30°, 60°, 90° szögű háromszög, és a 90°, 180°, 270° szögű háromszög.
A gömbön azonban Euler-háromszög oldala nem lehet 180°-nál hosszabb. Így tehát a felső határt lejjebb kell szorítanunk: 60°, 120°, 180° lesz belőle.
Meglepő módon, még ez sem elég! Ha kiválasztjuk például az 50°, 100°, 150° szögek által meghatározott háromszöget, kiderül, hogy ilyen háromszög nem szerkeszthető!
Vegyük figyelembe, hogy gömbháromszögnek mindig létezik polárháromszöge. Tegyük fel, hogy az eredeti háromszög szögei a, 2a, 3a; akkor a polárháromszög oldalai 180-a, 180-2a, 180-3a. Ezekre az oldalakra azonban fenn kell állnia a háromszög-egyenlőtlenségnek.
Mivel 180-a> 180-2a > 180-3a, ezért a lehető legerősebb feltétel: 180-a < 180-2a + 180-3a. Némi rendezés után kiderül, hogy a< 45°. Így tehát a szóbajöhető háromszögek szögei 30°, 60°, 90° és 45°, 90°, 135° közé eshetnek. Jó megoldás például a 40°, 80°, 120° szögű gömbháromszög!
3. példa
Melyek azok a szabályos sokszögek, amelyekben minden szög 120°?
Síkon csak a szabályos hatszög - és gömbön?
Az n oldalú gömbsokszög területképlete: T = (belső szögek összege) - (n-2)180.
Ha valamennyi belső szög 120°, akkor a következő egyenlőtlenséghez jutunk:
T = 120n - (n-2)180 > 0, hiszen a sokszög területének nagyobbnak kell lennie 0-nál.
Az egyenlőtlenség rendezése után arra jutunk, hogy 360 - 60n > 0.
Ez az egyenlőtlenség n=1, 2, 3, 4, 5 természetes számokra teljesül. Vizsgáljuk meg, mikor kapunk szabályos sokszöget!
n=1-gyel nincs mit kezdeni, mert egyszög ugyan létezik a gömbön - főkör, rajta egy ponttal -, de ennek egyetlen szöge 180°, nem pedig 120°.
n=2 olyan gömbkétszöget jelent, amelynek mindkét szöge 120°. Három ilyen gömbkétszög beborítja a gömbfelületet, átfedések és hézagok nélkül.
n=3 olyan szabályos gömbháromszöget jelent, amelyből négy darab beborítja a gömbfelületet, átfedések és hézagok nélkül. Ilyen háromszöget úgy rajzolhatunk, hogy először megrajzoljuk a polárháromszögét, amelynek oldalai 60°, 60°, 60°. Ha olyan szabályos tetraédert tekintünk, amelynek négy csúcsa a gömbfelületre esik, akkor a csúcsokat összekötő gömbi főkörívek éppen a tetraéder gömbi mozaikját határozzák meg.
n=4 olyan szabályos gömbnégyszöget jelent, amelyből hat darab beborítja a gömbfelületet, átfedések és hézagok nélkül. Ha meghúzzuk ennek a szabályos gömbnégyszögnek egyik átlóját, két olyan háromszöget kapunk, amelyek szögei 60°, 60°és 120°. Ennek polárháromszögét szerkesztjük meg először, 120°, 120°és 60°oldalakkal. Ha olyan kockát tekintünk, amelynek hat csúcsa a gömbfelületre esik, akkor a csúcsokat összekötő gömbi főkörívek éppen a kocka gömbi mozaikját határozzák meg.
n=5 olyan szabályos gömbi ötszöget jelent, amelyből tizenkét darab beborítja a gömbfelületet, átfedések és hézagok nélkül. Ha ilyen ötszög középpontját összekötjük a csúcspontokkal, öt háromszöget kapunk, amelyeknek szögei 60°, 60°, és 360/5= 72°. Ennek polárháromszögét szerkesztjük meg először, 120°, 120°és 108°oldalakkal. Ha olyan szabályos pentagondodekaédert tekintünk, amelynek húsz csúcsa a gömbfelületre esik, akkor a csúcsokat összekötő gömbi főkörívek éppen a pentagondodekaéder gömbi mozaikját határozzák meg.
A feladat tehát kapcsolódik a szabályos testek gömbi képéhez. Az oktaéder és az ikozaéder marad ki a felsorolásból. Ha már itt tartunk, leírom ennek a két szabályos testnek gömbi hálózatát is. Oktaéder gyerekjáték: három, páronként merőleges főkör. Ikozaéder pedig: a gömbi pentagondodekaéder szomszédos ötszögeinek középpontjait összekötő főkörívek!
