Egy kétezer éve megírt művet olvasni nagy élmény

Nemcsak mi, a matematikatörténészek is örömmel veszik kézbe Euklidesz alkotását. 1999 nyarán a kanadaiak és a britek közös konferenciát rendeztek Torontóban, "ahol a résztvevők lapozgathattak a görög (1553-ban megjelent), az arab (1594) az olasz (1543), az angol (1570), német (1562) nyelvű Euklidesz kiadásokban" írja a tudósító a könyvtárlátogatásról.

Magyarul Mayer Gyula fordításában olvashatjuk az Elemeket. A továbbiakban e kötetet fogom idézni, az oldalszámok is erre vonatkoznak. Az Elemek az egyetemes kultúra egyedülálló alkotása, bár megszületésekor egynek tűnt az összefoglaló matematikai művek sorában.

A fordítói jegyzetekből megismerhetjük az Elemek sorsát. A Kr. előtt 300 körül keletkezett mű több ókori kiadásáról tudnak a történészek, de a legkorábbi fennmaradt görög nyelvű kézirat a VIII. századból származik. A rómaiak részleteket fordítottak belőle, az arabok a teljes művet, kommentárokkal együtt. Az első nyomtatott kiadás 1482-ben, Velencében készült. Az 1500-as évektől kezdve egyre több nyelven jelent meg. Mint látjuk, a torontói könyvtárban a legkorábbi kiadásokkal találkozhattak a kutatók a konferencián.

Euklidesz elődei közül többen írtak hasonló könyvet. Azokat a későbbiekben már nem másolták, nem adták ki újra ( Nyomtatás nélkül is volt könyvkiadás. A szerzőtől megkapott kéziratot lediktálták, akár 50 rabszolga is írt egyidőben, majd jólképzett rabszolgák, a lektorok kijavították a "sajtóhibákat". Archimedesztől maradt fenn reklamáló levél, amelyben az eladott művekben bennmaradt hibák nagy számára panaszkodik), így azok közül egy sem maradt fenn, csak hírből ismerik őket a filológusok. Euklidesz műve pedig olyan egyértelmű elismerést aratott, hogy több hasonló összefoglalás nem keletkezett az ókorban.

Szabó Árpád bevezető tanulmánya mindazt a háttérismeretet nyújtja az olvasónak, amely szükséges lehet az Elemek értő, alapos olvasásához. Be kell vallanunk, hogy aki erre vállalkozik, nagyon nagy munkába kezd. Az Elemek nehéz olvasmány. Szerencsénkre azonban vannak olyan rövid részletei is, amelyek megajándékoznak az eredeti mű olvasásának élményével. Ezekből szeretnék néhányat bemutatni.

Az Elemek a hálón is olvasható interaktív feldolgozásban, sajnos - e cikk írásakor csak - angolul. A matematikatörténeti részletek iránt érdeklődőknek a St Andrew honlapját javaslom.

Kezdjük az ismerkedést az Elemek legősibb részével!

A páros és páratlan tana

Először meglepődünk, miről is van itt szó? A IX. könyv 21. tételével kezdődik a tan. (271. old.)

"Bárhány páros számot adunk össze, az összeg páros."

Hogyan definiálja Euklidesz a páros számot? Miért így? A definiciók a VII. könyv elején találhatók (206. old. ).

"6. Páros a ketté bontható szám." Vagyis páros szám az, amelyiknek a fele is szám, vagy az egység, mivel az ókori görögök számnak az egység többszörösét tekintették.

"7. Páratlan pedig a ketté nem bontható, vagy másképp, amelyik egységben különbözik egy páros számtól."

A tételek után következnek a bizonyítások.

Ezután viszont nem érthető, miért van erre szükség. Hiszen olyan triviális állításokról van szó. Két páros szám összege páros, stb.

A csattanó igazán nagyot szól: a páros és páratlan tanából következik a 2 négyzetgyökének irracionalitása.

Igaz, ezt a tételt kicsit nehéz megtalálni, a X. könyv 27. függelékeként szerepel a 401. oldalon, és megfogalmazása is eltér a várttól.

"Mutassuk meg, hogy a négyzetekben az átló lineárisan összemérhetetlen az oldallal!" A bizonyítás az általunk Pitagorasz tételeként ismert összefüggésen kívül a páros és páratlan tanának tételeit használja föl.

Ez az elmélet, a páros és páratlan tana, a matematikának csak igen kicsi részét jelenti, de felépítése kicsiben olyan, mint a teljes Elemeké. Definiálja az alapfogalmakat, ezekre és a korábban kimondott axiomákra építve következnek az egyre többet kimondó állítások.

Ez a rövid példa az axiomarendszer születését is mutatja nekünk. Szövegkritikai vizsgálatok és egyéb források alapján a történészek szerint Euklidesz a páros és páratlan tanát egy régebbi műből változatlanul vette át.

Pontosan öt szabályos test van

XIII. könyv 18. tétel, 501. oldal:

" Állítsuk elő az öt test élét, és hasonlítsuk össze egymással!"

Az előző tételekből tudhatjuk meg, hogy az öt szabályos testről, a kockáról, a dodekaéderről, a tetraéderről - itt gúla a neve - az ikozaéderről és az oktaéderről van szó. Számunkra talán nem annyira érdekes, hogy az azonos sugarú körbe írt szabályos testek éleinek aránya racionális vagy irracionális szám, a tételsor befejezése a fontos a mai olvasónak. Nem külön tételben, hanem a korábbiak következményeként fogalmazza meg Euklidesz az igazán érdekes állítást:

" Azt állítom, hogy az említett öt testen kívül nem szerkeszthető más egyenlő lapok által közrefogott test."

Az Ötödik posztulátum

Ez az axióma mondja ki, hogy egy egyenessel egy rajta kívül lévő ponton keresztül a síkban csak egy párhuzamos húzható. Az axióma másképpen szerepel Euklidesznél, ( "És hogyha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek (összegben) kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak." ) de a két állítás egyenértékű.

Ez nem triviális, de nem túl bonyolult a bizonyítása.

Matematikailag nyilvánvaló, hogy a párhuzamossági axióma nélkül nem építhető föl az euklideszi geometria. De mi lehetett kimondásának lélektani háttere? Gondolhatjuk azt, hogy mint nyilvánvaló igazságot fogalmazták meg.

De gondolkozhatunk másképpen is, erről ír van der Waerden. Elképzelhető, hogy volt ellentétes nézet is, és az axióma kimondása a rivális gondolatok közötti választást jelenti.

Erről nincsenek emlékek, a közvetlen utódokat valószínűleg nem foglalkoztatta a kérdés. A későbbi vizsgálatok az állításnak nem az igazságtartalmát firtatták, hanem axióma mivoltát. Többen úgy gondolták, nem axiómáról, hanem tételről van szó, amely a korábbi axiómákból következik. Ezen az úton nem értek el eredményt sem azok, akik direkt módon, sem azok, akik indirekt módon próbálták bizonyítani az egyetlen párhuzamos létezésére vonatkozó állítást. Mindaddig bizonytalanságot okozott ez a probléma, amíg a XIX. században meg nem született a Bolyai-Lobacsevszkij geometria.

A nem-euklideszi geometriákról is gazdag anyagot találunk a weben.

Néhány további érdekességet javaslok még elolvasni.

Két egymásra épülő tétel következik, amelyben Euklidesz a nyilvánvaló igazság elegáns bizonyítását mutatja be.

VII. könyv 31. tétel, 226. old. " Bármely összetett számot oszt valamely prímszám." A bizonyítás nem indirekt, arra épül, hogy az osztó kisebb, mint az a szám, amit oszt, és a számok - mint tudjuk, a görögöknél a szám szó pozitív egészet jelent - alulról korlátosak, tehát az osztók véges sorozatán keresztül el kell jutnunk a prímosztóig.

VII. könyv 32. tétel, 227. old. "Bármely szám vagy prím, vagy osztja egy prímszám." A bizonyítást érdemes idézni:" Ha a prím, készen vagyunk. Ha összetett, osztja valamely prímszám (VII. 31.)."

Most egy indirekt geometriai bizonyításra szeretném felhívni az olvasók figyelmét.III. könyv 18. tétel, 116. old. " Ha egy kört érint valamely egyenes, és a középpontból az érintési pontra egy egyenest illesztünk, akkor ez az egyenes merőleges lesz az érintőre."Első látásra talán nem is tűnik fel, hogy az érintő és a megfelelő sugár kapcsolatáról van szó. A bizonyítás is kissé körülményes, de olyan szépen szemlélteti a bizonyítási technikákat, hogy ezért érdemes elolvasni, megérteni.

Végül következzék egy szerkesztési feladat

VI. könyv 25. tétel, 197. old."Szerkesszünk adott sokszöghöz hasonló és egyúttal egy adott sokszöggel egyenlő (területű) alakzatot!"

Javaslom a feladat megoldását, annak leírását az általunk megszokott stílusban, majd ezután megismerni az Euklidesz által bemutatott változatot.