Skatulya-elv
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Olyan feladatokat gyűjtöttünk össze, amelyek a skatulya-elv alkalmazásával megoldhatók. A skatulya-elv egyszerűen, szemléletesen, akár általános iskolások számára is érthetően megfogalmazható.
A skatulya-elv
Ha adott n skatulya és n+1 tárgy, melyek mindegyikét elhelyezzük valamelyik skatulyában, akkor lesz olyan skatulya, amelyben legalább 2 tárgy található.
A skatulya-elv módosított változata
Ha adott k skatulya és kn+1 tárgy, amelyek mindegyikét elhelyezzük valamelyik skatulyában, akkor lesz olyan skatulya, amelyben legalább n+1 tárgy található.
A skatulya-elvet a matematika több területén alkalmazhatjuk eredményesen. Ezúttal a kombinatorikus geometria és a számelmélet témaköréből mutatunk be feladatokat.
A skatulya-elv kombinatorikus geometriai feladatokban
- Egységsugarú körlapon felveszünk 7 pontot. Mutassuk meg, hogy van köztük kettő olyan, amelyek távolsága nem nagyobb, mint 1!
- Oldjuk meg az előző feladatot 6 pont esetén!
- Egy 20x15-ös téglalapban felvettünk 26 pontot. Mutassuk meg, hogy e pontok között van kettő, amelyek távolsága legfeljebb 5!
- Egy 5x5x10-es téglatestben adott 2001 pont. Mutassuk meg, hogy van köztük két olyan, amelyek távolsága kisebb, mint
- Egy 10 főből álló baráti társaság minden egyes tagja pontosan 5 társaságbeli barátjának küld karácsonyi üdvözlő lapot. Igazoljuk, hogy van két olyan tagja a társaságnak, akik kölcsönösen küldenek egymásnak üdvözlő lapot!
- Egy négyzet alakú 1 m2-es céltáblát 49 találat ért. Bizonyítsuk be, hogy van köztük négy olyan találat, amelyek közül bármely kettő távolsága kisebb, mint 36 cm!
- Egy 8 cm oldalú négyzetben adott 33 pont, amelyek közül semelyik három nem illeszkedik egy egyenesre. Mutassuk meg, hogy ezek között van 3 olyan pont, amelyek által meghatározott háromszög területe legfeljebb 2 négyzetcentiméter!
- Egy 7 egység élű K kockában elhelyeztünk 342 pontot. Elhelyezhető-e K-ban egy 1 egység élű kocka úgy, hogy ennek a belsejében ne legyen megjelölt pont?
- Adott a síkon 100 pont, amelyek között semelyik három nincs egy egyenesen. A pontokat összekötő szakaszok mindegyikét pirosra vagy kékre festjük. Igazoljuk, hogy van a pontok között legalább kettő olyan, amelyekből azonos számú piros szakasz indul ki!
- A sík minden pontját pirosra vagy kékre színezzük. Mutassuk meg, hogy van olyan pontpár, amelyek távolsága 1!
- Adott a síkon végtelen sok pont. Mutassuk meg, hogy közöttük végtelen különböző távolság lép fel!
- Adott a síkon kilenc egyenes úgy, hogy köztük nincs két párhuzamos. Mutassuk meg, hogy van két olyan, amelyek által bezárt szög legfeljebb 20°!
- Bizonyítsuk be, hogy egy konvex kilencszög átlóegyenesei között van két olyan, amelyek által bezárt szög 7º-nál kisebb!
