Születnek-e napjainkban is geometriai tételek?
Tarcsay Tamás
2002/12/09 11:47
1302 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.

A KöMaL 1993. évi 3. számában jelent meg a következő F.2953. számot viselő feladat:

Feladat:
A ABC háromszög AB, BC és CA oldatainak C(t), A(t) és B(t) olyan belső pontjai, amelyekre
Legyenek M és O illetve M(t) és O(t) az ABC háromszög illetve az A(t)B(t)C(t) háromszög magasság és körülírt körének középpontjai. Bizonyítsuk be, hogy az MM(t) és OO(t) egyenesek párhuzamosak!

Ezt a feladatot több akkori tanítványunk megoldotta, de volt közöttük egy, Pete Gábor, akit a megoldás beküldése után sem nem hagyott nyugodni ez probléma.

Először azt kezdte vizsgálni, hogy milyen görbéket alkotnak az M(t) pontok, ha t végigfut az [0, 1] intervallumon. (Az alábbi ábrán a piros vonallal rajzolt görbe.)

Ezek után a kapott görbe szimmetriatulajdonságait kezdte kutatni. Konkrét t értékekre meghatározta a M(t) helyét, és így jutott el egy sejtéshez, amit korábban kollégáink közül senki sem ismert:

Sejtés:
a) Az M(t) és M(1-t) szakaszok felezéspontja az ABC háromszög Euler egyenesére esik. (A fenti ábrán kék színnel van jelölve.
b) Különböző t-kre az M(t)M(1-t) szakaszok egymással párhuzamosak.

A sejtés nyilvánosságot kapott az osztályban, mindenki úgy érezte, hogy a benne szereplő állítások igazak, csak a bizonyítás senkinek sem sikerült.

Több évvel ezek után Pete Gábor korábbi osztálytársa, akkori évfolyamtársa, Dőtsch András adta meg az [1]-ben szereplő, nem túl egyszerű bizonyítást. Tudomásunk szerint elemi geometriai bizonyítás mindeddig nem ismeretes.


Irodalom:
[1] Dőtsch A. - Pete G.: Egy Euler-egyeneshez kapcsolódó tételről, Polygon (Szeged) VIII:1 (1998), 73-80.

A témához kapcsolódó problémák és feladatok:

1. Milyen görbéket alkotnak az O(t) pontok, ha t végigfut az [0, 1] intervallumon?

2. Legyen az A(t)B(t)C(t) háromszög súlypontja S(t)! Milyen görbéket alkotnak az S(t) pontok, ha t végigfut az [0, 1] intervallumon?

3. Legyen az A(t)B(t)C(t) háromszög beírt körének középpontja K(t)! Milyen görbéket alkotnak az K(t) pontok, ha t végigfut az [0, 1] intervallumon?

4. Fejezzük ki az ABC háromszög adataival azt a szöget, amelyet az M(t)M(1-t) egyenes bezár az ABC háromszög Euler egyenesével!

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten