Alapfeladat :
Egy trapézt a két átlója négy háromszögre bontja le. Igazoljuk, hogy a trapéz szárain fekvő háromszögek területe egyenlő!
Két háromszög területe egyenlő
Az ABD és az ABC háromszögek területe egyenlő, mivel az AB oldaluk közös, és e közös oldalhoz tartozó magasságuk is egyenlő -mindkettő a trapéz magassága. Az átlók metszéspontját jelölje M.

Az ABM háromszög közös része az ABC és az ABD háromszögeknek, és ha egyenlő területekből egyenlő területeket veszünk el, a különbségek is egyenlők lesznek, azaz az AMD és a BCM háromszögek területe egyenlő.

A feladat a matektanárok körében közismert, a versenyekre készülő tanulóknak pedig rendkívül hasznos, sok feladat visszavezethető erre. Az 1993. évi XXII. Országos Kalmár László Verseny megyei döntőjében a 8. osztályosoknak kitűzött 4. feladat:

Osszunk fel egy adott trapézt egyik szárának felezőpontjából húzott egyenessel két egyenlő területű részre!
Az FGB törött vonal felezi a trapéz területét Az AD szár felezőpontját jelölje F. Rajzoljunk C ponton át AD-vel párhuzamost, ezzel egy paralelogrammára és egy háromszögre bontjuk a trapézt. Az FG középvonal felezi a paralelogramma területét, és a GB súlyvonal felezi a háromszög területét, ezért az FGB törött vonal felezi a trapéz területét.
Kössük össze az F és a B pontokat, majd G ponton keresztül rajzoljunk FB-vel párhuzamost! Az FBHG négyszög trapéz, amelynek GB az egyik átlója. Rajzoljuk be a másik - FH - átló egyenesét!
Az FH egyenese felezi a trapéz területét
Az alapfeladat miatt az FBHG trapéz FG és BH szárain fekvő FMG és BHM háromszögek területe egyenlő, ezért az FGH törött vonal alatti terület egyenlő az FH szakasz alatti területtel, ezért FH egyenese felezi a trapéz területét!

Nem ismerem az országos eredményeket, de az ismerőseim és a tanítványaim körében nem aratott nagy sikert a feladat, ezért állítottuk össze az alábbi feladatsort. A három egymásra épülő feladatot egy ötfordulós megyei levelező verseny első, harmadik és ötödik fordulójában tűztük ki, hogy - a javítókulcs ismeretében - azoknak a tanulóknak is legyen esélyük, akik az alapfeladatot nem ismerték.

Feladatok:
1.

Rajzold be az ABCD trapéz két átlóját! Bizonyítsd be, hogy a keletkező háromszögek között van két olyan háromszög, amelyek területe egyenlő!

2.
Az ABC háromszög egyik oldalán vegyünk fel egy tetszőleges P pontot! Rajzoljunk a P ponton keresztül olyan egyenest, amely két egyenlő területű részre bontja fel a háromszöget, ha
a) P az AB szakasz végpontja;
b) P az AB szakasz belső pontja!

3.
Az ABCD konvex négyszög AB oldalán vegyünk fel egy tetszőleges P pontot! Rajzoljunk a P ponton keresztül olyan egyenest, amely két egyenlő területű részre bontja fel a négyszöget, ha
a) P az AB szakasz végpontja;
b) P az AB szakasz belső pontja!

Konfár László