A rendszer axiómái:

Néhány hangköz

1. Axióma:

A dúr hangsor a fenti értelemben épül fel kis- és nagyszekundokból. Bármely zenei hangról indulhat.

2. Axióma:

A hangközökre a bennük szereplő hangok rezgésszámainak hányadosa jellemző. Hangközök összetétele esetén ezek az arányszámok összeszorzódnak.

Most néhány hangközt visszavezetek a kis- és nagyszekundokra (definíciók).

• Két nagyszekund = nagyterc.
• Két nagyszekund és egy kisszekund = (tiszta) kvart. (Megjegyzem, hogy a definiáló alkotóelemek sorrendje lényegtelen a 2. Axióma miatt.)
• Három nagyszekund és egy kisszekund =(tiszta) kvint.
• Négy nagyszekund és egy kisszekund = nagyszext.
• Öt nagyszekund és egy kisszekund = nagyszeptim.
• Hat nagyszekund és két kisszekund = (tiszta) oktáv.

3. Axióma:

Az oktávra jellemző hányados 2/1.

4. Axióma:

A kvintre jellemző hányados 3/2. (A zongora egyenlő lebegésű temperálású hangolása megsérti ezt az axiómát.)

Válasszuk C rezgésszámát egységnyinek. C = 1. Ekkor a 3. Axióma miatt c = 2. A 4. Axióma miatt G = 3/2. Mivel Fc hangköz is kvint, ezért c/F = 3/2. Azaz 2/F = 3/2, tehát F = 4/3. Most kiszámíthatjuk a nagyszekund nagyságát G/F = (3/2) / (4/3) = 9/8. A nagyszekund értékére kapott eredményből kiszámíthatjuk a még hiányzó rezgésszámokat:

• C = 1
• D = 9/8
• E = (9/8) * (9/8) = 81/64
• F = 4/3
• G = 3/2
• A = (3/2) * (9/8) = 27/16
• H = (27/16) * (9/8) = 243/128
• c = 2

A hangközök:

• nagyszekund 9/8
• nagyterc 81/64
• kvart 4/3
• kvint 3/2
• nagyszext 27/16
• nagyszeptim 243/128

A kvint és a kvart egymást oktávra egészíti ki. 3/2 * 4/3 = 2. Ezért az egyik a másikból meghatározható úgy is, mint a reciprok kétszerese. Hasonló viszonyban áll egymással a nagyszekund és a kisszeptim; a nagyterc és a kisszext; a nagyszext és a kisterc; a nagyszeptim és a kisszekund. (Ezek definíciók voltak.) Így:

• kisszekund 2 * (128/243) = 256/243
• kisterc 2 * (16/27) = 32/27
• kisszext 2 * (64/81) = 128/81
• kisszeptim 2 * (8/9) = 16/9

(Feltűnő egyébként, hogy olyan törtek adják ezeket az értékeket, amelyekben csak 2- és 3-hatványok szerepelnek. A kisszekundot kiszámolhattuk volna másképp is, pl. az F/E aránnyal. A kistercet, a kisszextet, a kisszeptimet definiálhattuk volna így is: kisterc = kisszekund + nagyszekund; kisszext = 2 * kisszekund + 3 * nagyszekund; kisszeptim = 2 * kisszekund + 4 * nagyszekund.)

Két félhang valóban egy egész hang? Helyesebben két kisszekund összetétele egyenlő a nagyszekunddal? Nem, hiszen két kisszekund 256/243 * 256/243 = 65536/59049; a nagyszekund pedig 9/8. Később mutatnám meg egy összehasonlító táblázatban, hogy mekkora ez az eltérés. Hallható.

De gondolkodjunk tovább!

A zenében módosító jeleket használnak - többek között - annak érdekében, hogy más zenei hangról is indíthassák a dúr skálát.

Kereszttel (#) megemelik a hangot, bével (b) leszállítják. Ha két félhang nem egyenlő egy egész hanggal, tehát ha nincs értelme a félhang kifejezésnek, akkor milyen mértékű ez a megemelés vagy leszállítás?

Ha a dúr skálát G hangról indítjuk, az f hang megsérti a dúr skála rendjét, így az 1. Axiómát.

• GA hangköz: nagyszekund
• AH hangköz: nagyszekund
• Hc hangköz: kisszekund
• cd hangköz: nagyszekund
• de hangköz: nagyszekund
• ef hangköz: kisszekund
• fg hangköz: nagyszekund

Helyette egy olyan hangot kell választani, amely az e hangtól felfelé nagyszekund távolságra van, a g hangtól lefelé kisszekund távolságra. Így definiálom a f# (fisz) hangot. Az, hogy melyik oktávban van a hang, a lényeget (az arányokat) nem érinti.

F# = E * 9/8 = 81/64 * 9/8 = 729/512

És valóban:

G/F# = (3/2) / (729/512) = 256/243

Ezt a zenében úgy mondják, hogy meg kell emelni a hetedik fokot. A
megemelés mértéke:

F#/F = (729/512) / (4/3) = 2187/2048

Ez nem egyenlő a kisszekunddal, és két ilyen mértékű megemelés egymás után sem adja ki pontosan a nagyszekundot.

Hasonlóan kaphatjuk meg a többi megemelt hangot, ha ezt az eljárást sorban folytatjuk, az úgynevezett kvintkör szerint.

A dúr hangsor kezdőhangja - A megemelt hetedik fok

• G - F#
• D - C#
• A - G#
• E - D#
• H - A#
• F# - E#
• C# - H#
• G# - F##
  stb.

(Az én rendszeremben a kvintkör nem záródik.)
Ha valakinek kétsége támadna, hogy vajon az összes ilyen megemelés egyenlő mértékű-e, álljon itt egy matematikuabb levezetés:

Adott két zenei hang egymástól kisterc távolságra x és (32/27)x. Közöttük helyezkedik el y zenei hang, amely az alsótól kisszekund, a felsőtől nagyszekund távolságra van. Ilyen zenei hang létezik: y =(256/243)x; hiszen ((32/27)x) / ((256/243)x) = 9/8, azaz nagyszekund.

Létezik egy z zenei hang is a két zenei hang között, amely az alsótól nagyszekund, a felsőtől kisszekund távolságra van: z = (9/8)x; hiszen ((32/27)x) / ((9/8)x) = 256/243, azaz kisszekund. A megemelés mértéke: z/y = (9/8) / (256/243) = 2187/2048. Ha jobban meggondoljuk a két hang létezése a szorzás kommutativitásából következik, távolságuk pedig a nagyszekund és a kisszekund arányszámainak aránya.

Ha a dúr hangsort C helyett F-ről szeretnénk indítani, a negyedik fokot kell leszállítani, így kapjuk a Hb (B) hangot. Ha az eljárást tovább folytatjuk a kvintkörben ellenkező irányban, most a következő hangokhoz juthatunk el:

A dúr hangsor kezdőhangja - A leszállított negyedik fok

• F - B
• B - Eb
• E - Ab
• A - Db
• D - Gb
• G - Cb
• C - Fb
• Fb - Bb
• Bb -Ebb
  stb.

(A kvintkör itt sem záródik.)

Megint arról van szó, hogy két egymástól kistercnyi távolságra levő hang között két zenei hang helyezkedik el, az egyik az alsótól kisszekund, a felsőtől nagyszekund távolságra, a másik az alsótól nagyszekund, a felsőtől kisszekund távolságra. A két hang létezése a szorzás kommutativitásából következik, távolságuk pedig a nagyszekund és a kisszekund arányszámainak aránya. Azaz a leszállítás mértéke ugyanakkora, mint a megemelés mértéke volt.

H/B = 2187/2048

F# nem egyezik meg Gb-szel.

Gyerekkoromban azért kaptam ugyanis 3-ast szolfézsból, mert az az állítás, hogy F# = Gb, amely egy zongorista számára nyilvánvaló, hiszen ugyanazt a billentyűt kell lenyomnia, nekem sehogyan sem fért a fejembe. Hegedűn a F# hangot egészen másképp képeztem, mint a Gb-t. F# = 729/512 Gb= G / 2187/2048 = (3/2) / (2187/2048) = 1024/729

F#/Gb = 531441/524288

Most már ideje fellebbenteni a fátylat

A verseny emblémája

Nem én voltam az első a világtörténelemben, aki minderre rájött. Erre az első példa egy feladat a Matematika Határok Nélkül verseny 2000/2001-es próbafordulóján, mégpedig a 2. feladat.

Nem is olyan könnyű Aurélie pánsípot szeretne készíteni tíz sípból, melyek a dó-ré-mi-fá-szó-lá-ti-dó-ré-mi megszólaltatására alkalmasak. A legmélyebb hang megszólaltatására szolgáló síp 16 cm hosszú. Ha egy tetszőleges hosszúságú sípot megfelezünk, egy oktávval magasabban szóló hangot kapunk (pl. dó-dó). Ha egy tetszőleges hosszúságú síp 2/3-át vesszük, így egy kvinttel magasabban hangzó síphoz jutunk (pl. dó-szó vagy ré-lá).

Számítsátok ki a 10 síp hosszát, állítsátok nagyság szerinti sorrendbe, és rajzoljátok le eredeti nagyságban Aurélie pánsípját! Az egyes sípok átmérője 1 cm.

Felfedezhetjük axiómáinkat:

Ha egy tetszőleges hosszúságú sípot megfelezünk, egy oktávval magasabban szóló hangot kapunk (pl. dó-dó). 3. Axióma. Az oktávra jellemző hányados 2/1. Azzal a megjegyzéssel, hogy a fizika szerint a frekvencia és a cső hossza fordítottan arányos.

Ha egy tetszőleges hosszúságú síp 2/3-át vesszük, így egy kvinttel magasabban hangzó síphoz jutunk (pl. dó-szó vagy ré-lá). 4. Axióma. A kvintre jellemző hányados 3/2.

A próbaforduló megoldási vázlatában a következő számítási sorrendet javasolják a feladat kitűzői: dó-szó-ré2-ré-lá-mi2-mi-ti és dó-dó2-fá. Azaz a versenyzők részéről alapvető szolmizációs háttérismeretek voltak szükségesek, valamint hogy tudják vagy rájöjjenek, hogy ilyen oda-vissza irányú oktáv és kvint lépésekkel el lehet jutni a dúr skála minden egyes fokához. Ez benne van a mi rendszerünkben is, és az idézett lépésekkel mi is dolgozhattunk volna a rendszer kiépítésénél. Nem csoda, ha a feladat megoldása megegyezik rendszerünkkel. (Ott csőhosszban; itt frekvenciában.)

Csakhogy ez a rendszer a világtörténelemben Pitagorasz nevéhez fűződik.

Benkő András a Bolyaiak zeneelmélete c. könyvében három hétfokú hangsort
mutat be:

Püthagorasz:

• 1
• 9/8
• 81/64
• 4/3
• 3/2
• 27/16
• 243/128
• 2

Mayer:

• 1
• 9/8
• 81/64
• 4/3
• 3/2
• 27/16
• 15/8
• 2

Baumgartner/Bolyai Farkas

• 1
• 9/8
• 81/64
• 4/3
• 3/2
• 5/3
• 15/8
• 2

Az általam kiszámított F#/Gb hangközt (531441/524288) pitagoraszi kommának hívják.

Meg kell jegyeznem, hogy a négyjegyű függvénytáblázat is közöl egy tizenkét fokú hangsort. Ennek hétfokú része (CDEFGAH) megegyezik Benkő András könyvében szereplő Baumgartner/Bolyai Farkas-féle hangsorral.

A cikk pedagógiai haszna:

• Számolás törtekkel
• Szövegértés
• Több megoldás, ill. alternatív megoldások bemutatása
• Egy alternatív renszer bemutatása
• Egy axiómarendszer kidolgozása
• A matematika alkalmazása a művészetekben
• Annak megmutatása, hogy a diákokban lezajló felfedező/konstruktív tevékenység is tanulási tevékenység, hiszen ezen az úton én is új ismerethez jutottam, előzetes ismeretközlés nélkül

Függelék

Az egyenlő lebegésű temperált hangsor:

• c = 261,5
• d = 296,3
• e = 332,6
• f = 352,4
• g = 395,5
• a = 440
• h = 498,3

A pitagoraszi hangsor:

• c = 260,7
• d = 293,3
• e = 330
• f = 347,7
• g = 391,1
• a = 440
• h = 495

Irodalom

• BÖHM LÁSZLÓ: Zenei műszótár
• BENKŐ ANDRÁS: A Bolyaiak zeneelmélete
• SZABÓ ÁRPÁD: A görög matematika kibontakozása
• HACK-KUGLERNÉ-BALÁZS-RADNAI-TÓTH: Négyjegyű függvénytáblázatok. Matematikai, fizikai, kémiai összefüggések
• HORTOBÁGYI-RAJKOVITS-WAJAND: Matematikai, fizikai, kémiai összefüggések. Négyjegyű függvénytáblázatok