A ruletták speciális, elsősorban műszaki alkalmazásaik miatt fontos síkgörbék, vizsgálatuk azonban számos geometriai érdekességet is tartogat az érdeklődők számára. A hétköznapi ember számára a rulleták nagyon szép rajzok, ábrák - például mandalák.
Mi az a spirográf?
Biztosan sokan rajzoltak már azzal a téglalap alakú vonalzóval, amelyen két nagyobb, fogazott szélű kör alakú nyílás található. Ezekbe helyezhetőek azok a különböző méretű, szintén fogazott szélű körlapok, amelyeken több apró, ceruzahegy-méretű lyuk van. A ceruzát vagy tollat az apró lyukak valamelyikébe illesztve a körlap a nagyobb körön belül csúszásmentesen gördíthető - ezt a csúszásmentességet biztosítja a fogaskerék-szerűen összeillő fogazat. A gördülés során a ceruza egy alakzatot rajzol ki attól függően, hogy melyik nagy kört, és melyik körlapot választottuk. A különböző alakzatok kinézetét, sokszínűségét az is befolyásolja, melyik apró lyukba illesztettük a színes ceruzánkat, tollunkat. Ezt az igen népszerű, ötletes játékot nevezik spirográfnak. A források szerint a spirográf feltalálója Bruno Abakanowicz, lett matematikus volt. Az első, kereskedelmi forgalomban is kapható rajzeszközt egy brit mérnök, Denys Fischer készítette el.
A spirográf segítségével létrehozott alakzatokat a matematikusok hipocikloisoknak nevezik.
Egy kis matematika
Egy korrekt matematikai definíció következik:
Legyenek adottak a g1 és a g2 síkgörbék! Rögzített g1 mellett g2-t úgy mozgassuk el g1 mentén, hogy mozgás közben a két görbe mindig érintkezzen egymással, azaz az érintkezési pontban közös legyen az érintőjük, valamint az érintkezési pont mindkét görbén állandó irányban haladjon!
Ekkor, ha g1 bármely két P1 és P2 pontjára és a g2-n nekik megfelelő P1’ és P2’ pontokra teljesül, hogy a P1P2 ív egyenlő hosszú a P1’P2’ ívvel, akkor azt mondjuk, hogy a g2 görbe a g1 görbe mentén csúszás nélkül gördül.
Ha g1 és g2 két egymást fedő közös síkban van, g1 síkját rögzítjük, g2-é viszont gördülés közben g2-vel együtt mozog, akkor a mozgó sík minden pontja egy pályagörbét ír le.
Ezeket a görbéket nevezzük rulettáknak.
A ruletták természetesen a g1 és a g2 görbék megválasztásától függően nagyon sokfélék lehetnek.
Ha a g1 görbe egyenes, a g2 pedig kör, akkor gördülés közben g2 síkjának pontjai cikloisokat írnak le.
A hipociklois egy síkgörbe, mely úgy származtatható, hogy egy kör kerületén belül csúszásmentesen legördítünk egy másik kört, ennek egy kerületi pontjának nyomvonala a hipociklois.
A hipociklois a ruletták egy speciális fajtája.
A görbék serege színpompás alakzatokat eredményez, a látvány a megszokottól eltérő vizuális élményt jelent az alkotók számára.
Mandalák
A szó szanszkrit eredetű, jelentése kör, körszelet, korong. A keleti kultúrákban a meditációhoz használják. A mandala színei jelentést is hordoznak, pl. a fekete jelentése lehet: titok, belátás, újjászületés. Mivel forgásszimmetrikus a motívum, és a középpontból kiinduló ívek sokaságából épül fel, a hipocikloisok és epicikloisok felhasználásával szép mandalák készíthetőek.
A mandalák napjaink modern művészetében is megjelennek.
További érdekes oldalak:
- Spirograph
- Gördülő korong & cikloisok
- Elektronikus tananyag fejlesztése a Műszaki rajz tantárgy oktatásához
- Art inspired by Mathematics
- Spirograph with 3 Gears 3
Zsigó Zsolt cikke
