3. feladat
2004/03/21 16:53
1872 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Vegyünk fel egy kört, és annak belsejében egy bázispontot. Szerkesszünk a körben két olyan húrt, amelyek merőlegesek egymásra, egyenlő hosszúak, és az adott pontban metszik egymást! Változtassuk a bázispont helyzetét! Igaz-e, hogy a kör minden belső pontjára helyes a szerkesztés? Ha nem, akkor vizsgáljuk meg, miért nem, és korrigáljuk a szerkesztést! Vizsgáljuk meg, hogy helyes marad-e a szerkesztés, ha a bázispont illeszkedik a körre, illetve ha a körnek külső pontjává válik (ez utóbbi esetben természetesen a húrokat tartalmazó egyenesek metszik egymást az adott pontban)! Mely pontok esetén léteznek a megfelelő húrok?

A feladat megoldása
A feladat megoldásához azt kell felhasználnunk, hogy ha két húr egyenlő hosszúságú, akkor a kör középpontjától ugyanolyan távolságra haladnak, amiből pedig következik, hogy a kör középpontja körüli forgatással egymásba vihetők. Ha a két húr ráadásul merőleges egymásra, akkor a forgatás szöge 90°. Ezek alapján a feladat megoldása a következő lehet; forgassuk el az adott bázispontot (az ábrán ez a P pont) az O pont körül 90°-kal mindkét irányba. A forgatások eredményeként az ábrán P1-gyel és P2-vel jelölt pontokat kapjuk. A keresett húrok illeszkednek a P1P, illetve a P2P pontokra (ld. ábra, illetve a letölthető szerkesztésben a Húrok szerkesztése nevű fólia). Itt jegyezzük meg, hogy a szakasz hosszának kiíratásához a "@s" jelsorozatot kell megadnunk a szakasz címkéjeként.
A fenti feladat megoldásának egyszerűsége még nem feltétlenül igényelné dinamikus geometriai módszerek alkalmazását, de a feladat szövegében feltett további kérdések megválaszolásához hasznos eszköz lehet az interaktivitás, illetve az Euklides-be beépített Objektumgravitáció funkciója. Az Objektumgravitáció segítségével érhetjük el, hogy egy mozgó bázispont ideiglenesen illeszkedjen egy alakzatra (ez lehet pont, egyenes, kör, vagy kúpszelet). Ha e funkció be van kapcsolva, és a P bázispontot a körvonal közelébe mozgatjuk, akkor a P pont "ráugrik" a körvonalra, és láthatjuk, hogy a szerkesztés ebben az esetben is helyes lesz. Sőt, ha a bázispont a körvonal külső pontjává válik, a szerkesztés azokban az esetekben is helyes eredményt ad, legalább is mindaddig, amíg a pontból a körhöz húzott két érintő hajlásszöge nagyobb, mint 90°. Véleményünk szerint hasznos lehet, ha ezt a határhelyzetet a diákok a program segítségével fedezik fel, és fogalmazzák meg.
A P pont helyzetének mozgatásával az is látható, hogy a szerkesztés nem működik, amennyiben a P pont egybeesik a kör középpontjával. Könnyen végiggondolható, hogy ebben az esetben a feladatnak végtelen sok megoldása van, hiszen bármely egymásra merőleges átmérőpár megfelel a feltételeknek. Ezek megszerkesztését a Speciális eset nevű fólián végeztük el. A merőleges átmérők megjeleníthetők animációval is, ha az S pontot végigfuttatjuk a körvonalon. Javasoljuk, hogy az animációt készíttessük el a diákokkal. (Euklides-fájl)

Javasolt évfolyam: 8-10. évfolyam.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten