Javasolt évfolyamok: 8-10. évfolyam.
A feladat megoldása
A feladat feltételeinek megfelelő P pont könnyen szerkeszthető a következő módszerrel. Jelöljünk ki egy d(e,e') távolságot, amely kisebb, mint d, majd szerkesszünk az e egyenestől ekkora távolságra haladó, vele párhuzamos e' egyenest. Ezután szerkesszünk olyan f' egyenest, amely párhuzamos f-fel, és attól d - d(e,e') távolságra halad. Az e' és f' egyenesek P metszéspontja nyilván megfelel a feltételeknek. Az is világos, hogy a két metsző egyenes által létrehozott minden szögtartományban található ilyen tulajdonságú pont (ld. ábra). A fenti szerkesztésmenet lehetőséget ad animáció elkészítésére is. A letölthető szerkesztés Animáció fóliáján az SD bázisponttal két részre osztottuk az adott d szakaszt, majd elvégeztük a megfelelő szerkesztéseket ( Firka fólia).
A szerkesztés eredményeként a P1, P2, P3 és P4 pontokat kaptuk. Állítsunk be animációt, amelyben az SD pontot végigfuttatjuk a d szakaszon! A fázisok egyidejű megjelenítése mutatja, hogy a Pi pontok egy-egy szakaszon helyezkednek el. Erről a Nyomvonal ikon alkalmazásával is meggyőződhetünk (ennek eredményét az ábrán kékkel rajzoltuk meg). Az ábrán X, Y, Z és V jelöli a megjelenített nyomvonal e és f egyenesen fekvő pontjait. Hasonlóság egyszerű alkalmazásával megmutatható, hogy az XY szakasz (és ehhez hasonlóan az YZ, ZV és VX szakasz) minden pontjának az e és f egyenesektől mért távolságösszege éppen d. Hasonlóan egyszerűen megmutatható, hogy az XYZV négyszög belsejében fekvő pontokra ez a távolságösszeg kisebb, mint d, a négyszög külső pontjaira pedig nagyobb, mint d.
Javasoljuk az alábbi kérdések és feladatok vizsgálatát: A Pi pontok mértani helyének megsejtetése a következő lépéseken keresztül történhet: az SD pont "kézi mozgatása", majd animáció beállítása. Ezután javasoljuk az animáció fázisainak egyidejű megjelenítését, majd a nyomvonal megjelenítését beépített rutin alkalmazásával.
Végül szerkesszük meg (euklideszi értelemben) az XYZV négyszöget! A bázispontok mozgatása mellett megfigyelhető, hogy az XYZV négyszög mindig téglalap. Bizonyítsuk be ennek az állításnak helyességét! (Pl.: hiszen az XOV és XOY háromszögek egyenlőszárúak.)