A feladat megoldása

A speciális tulajdonságú beírt négyszögek vizsgálatát elvégezhetjük például azáltal, hogy egy beírt négyszöget megszerkesztünk (négy bázispont vetítésével egy-egy oldalra), majd a bázispontok mozgatása mellett vizsgáljuk az ábrát. Ezt a letölthető szerkesztés Sejtés kialakításafóliáján dolgoztuk ki (az Adatok fóliával együtt használandó). A megfelelő tapasztalatgyűjtés után egy sejtés fogalmazható meg, mely szerint egy paralelogrammába írt paralelogramma középpontja egybeesik az eredeti paralelogramma középpontjával.

Valóban, ha O jelöli a beírt EFGH paralelogramma középpontját (ld. ábra), akkor az O-ra vonatkozó tükrözés az E pontot a G pontba viszi át, míg az AB szakaszt vele párhuzamos szakaszba. Ugyanakkor a G pont illeszkedik a DC oldalra, amiből szükségszerűen következik, hogy az említett tükrözés az AB szakaszt a CD egyenesre képezi. Ez csak úgy lehetséges, ha az O pont illeszkedik az AB és a CD egyenesek középpárhuzamosára. Hasonlóan; az O pont illeszkedik az AD és a BC középpárhuzamosára. Egyetlen olyan pont van, amely mindkét középpárhuzamoson rajta van, mégpedig az ABCD paralelogramma középpontja.

Ezek alapján a paralelogrammába írt négyzet szerkesztése (ld.Forgatás fólia) úgy történhet, hogy az AB szakaszt elforgatjuk az O pont körül 90°-kal; az elforgatott (és a fenti ábrán A'B'-vel jelölt) szakasz kimetszi az AD oldalból a szerkesztendő négyzet egyik csúcsát.

A diszkusszió ezúttal is a bázispontok mozgatásával kezdődhet. Amennyiben az AD és A'B' szakaszoknak végtelen sok metszéspontja van, úgy a feladat határozatlan, és végtelen sok megoldása van. Készíttessünk animációt ezen megoldások szemléltetésére (ld. a teljesen önállóan használandóHatározatlan eset fóliát)! Vizsgáljuk meg, hogy kapunk-e más megoldást, ha az AB szakaszt a másik irányba forgatjuk el! Hogyan lehetne ezt az esetet a legegyszerűbben megjeleníteni az Euklides-ben! Javasolt évfolyam: 8-10. évfolyam