A Compton-szórás szívgörbéjének illusztrálása az Euklides segítségével
2004/11/29 08:00
1135 megtekintés
A cikk lejárt! Valószínű, hogy már nem aktuális információkat tartalmaz!
Az Euklides a gyakorlatban geometriai szerkesztőprogramként terjedt el. (Nem csoda, hiszen készítői annak is szánták. :-) ) Felmerül viszont a kérdés, hogy alkalmas-e olyan feladatok elvégzésére is, amelyek nem kifejezetten az euklideszi geometria tárgyköréből kerülnek ki. Az alábbiakban a Compton-szórás szívgörbéjét kíséreljük meg felvázolni a segítségével.

A fény részecskejellegét bizonyító jelenségek közül az egyik legismertebb a Compton-szórás. A jelenséget elsőként Arthur Holly Compton vizsgálta tüzetesebben 1923-ban. Lényegében olyan foton-elektron kölcsönhatásról van szó, amelyben a foton rugalmatlanul szóródik az elektronon; energiájának egy részét az elektronnak adja át. A szóródó foton saját energiája így csökken; ez az összefüggés alapján frekvenciájának csökkenéséhez, ill. hullámhosszának növekedéséhez vezet. Ezt a hullámhossz-növekedést a

összefüggés adja meg, ahol a beeső és a szórt foton hullámhosszának különbsége, állandó az elektron Compton-hullámhossza, a Planck-állandó, az elektron tömege, pedig a szóródás szöge. (Az összefüggés levezetése megtalálható bármely átfogó fizikatankönyvben vagy atomfizikakönyvben.)

A képletből látható, hogy a hullámhossz-növekedés egyedül a szögtől függ. Ez a tény, ill. eleve az összefüggés egyszerűsége felbátoríthat minket arra, hogy megpróbálkozzunk a függvény csupán geometriai módszereket felhasználó illusztrálásával; akár az Euklides program segítségével. Természetesen az így készült ábra vagy animáció nem ad precíz képet a függvényről (a pontos értékeit nem tudjuk meghatározni), de talán a szerkesztés szemléletessége közelebb hozza a diákokhoz a tárgyalt problematikát. Sőt, ha önállóan dolgoznak, alkalmuk nyílik szorzás geometriai módszerrel való elvégzésének elsajátítására is.

A szerkesztés menete

A teljes Euklides-file letölthető innen.

  1. Vegyünk fel egy egységnyi sugarú kört, egy szabadon választott F pontot és egy
    hosszúságú szakaszt. Mivel csupán szemléltetésről van szó, nincs jelentősége, hogy mekkorának választjuk ezt a szakaszt. (lásd az Euklides-file Adatok fóliáját). A pontnak a körre szerkesztett vetülete lesz az Euklidesben oly gyakran alkalmazott "futópont", a kör középpontját tekintjük a szórás centrumának. A szórás centrumából a futóponton át fektetett i félegyenes a foton eltérülésének iránya. Az x-tengely és az i félegyenes között mért szög a fentiekben tárgyalt
    szög.
  2. A fenti összefüggésből látható, hogy szükségünk van a
    szög megfelezésére (l. a Szögfelezés fóliát), az itt kapott félszög szinuszának négyzetére (l. a sin(teta/2)^2 fóliát), míg végül ezen szinusznégyzet és az 1. pontban felvett szakasz hosszának szorzatára (l. a \2Lambda sin(teta/2)^2 fóliát).
  3. Ha a szórás centrumából az imént megszerkesztett nagyságú sugárral kört rajzolunk, a kör és az i félegyenes metszete megadja a

    függvény egy P pontját (l. a Szórás fólia láthatatlan objektumait).

  4. A teljes függvény megszerkesztéséhez csupán annyit kell tennünk, hogy az F pontot végigfuttatjuk az egységkörön, és megszerkesztjük a P pont nyomvonalát (Szívgörbe fólia).

A kapott nyomvonal nem más, mint a

függvény grafikonja, amit a szakirodalom szívgörbének nevez (l. az ábrán vörössel jelölt vonalat).

Tanulságos lehet néhány speciális eset megvizsgálása. Az összefüggésből látható, hogy ha

, a

értéke is nulla, nincs hullámhossz-növekedés. Ez érthető is, hiszen ekkor a foton nem térül el, nem ad át az elektronnak energiát.

, a foton eltérülése maximális (mintha visszaverődne az elektronról). Ebből adódóan az elektronnak leadott energiája is a lehető legnagyobb, ami

hullámhossz-növekedést jelent.

, a hullámhossz-növekedés épp

-vel egyenlő. Ezek az állítások ellenőrizhetők az Euklides-szerkesztésben (l. a Próba fóliát). Az, hogy

esetén

értéke is 0, nyilvánvaló az ábrából. A másik két esetben pedig csupán annyit kell tennünk, hogy a szórás centrumából

és sugárral köröket húzunk. Látható, hogy a

sugarú kör

-ben metszi, míg a sugarú kör

-ben érinti a szívgörbét (l. a Próba nevű fóliát).

Tóth Gábor

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten