Tekintsük a következő problémát!

Egy háromszög (M) magasságpontját tükrözzük az egyik oldal (c) felezéspontjára (Fc). Milyen (Mc) pontot kapunk?

Készítsünk egy ábrát!
1. ábra Felhasználva a magasságpont tulajdonságát, és azt, hogy a középpontosan szimmetrikus MAMcB négyszög paralelogramma, kaphatjuk, hogy a CAMc és CBMc szögek derékszögek.

A Tálész-tételből következően az A és B pontok rajta vannak a CMc szakasz Tálész-körén, azaz az ABC háromszög köré írt körén.

Kaptuk tehát, hogy egy háromszög magasságpontjának az egyik oldal felezéspontjára vonatkozó tükörképe a háromszög köré írt kör szemközti csúccsal átellenes pontja.

Az 1. ábrán hegyesszögű háromszög esetében mutattuk be a problémát. Felvethető az a kérdés, hogy nem használtuk ki a hegyesszögű tulajdonságot? Igaz a tétel nem hegyesszögű háromszög esetében?

A C-nél derékszögű háromszög esetét a következő rajz szemlélteti.
2. ábra Ekkor a C csúcsban van a magasságpont és két magasságtalppont is. A CAMcB négyszög téglalap, az ABC háromszög köré írt köre e téglalap köré írt köre, és ennek átmérőre a téglalap CMc átlója.
A tétel igaz ebben az esetben is.

Ha az A pontban van a háromszögnek, derékszöge, akkor
3.ábra A magasságpont az A pontban van, annak Fc-re vonatkozó Mc tükörképe a B pontba esik. Így az ABC háromszög köré írt kör középpontja a CMc szakasz felezéspontja.
A tétel igaz ebben az esetben is.

Ha a B csúcsnál van derékszög a probléma analóg az előző esettel.

Nézzük azt az ábrát, ami azt az esetet mutatja, amikor a C csúcsnál tompaszög van!
4. ábra Az első esethez hasonlóan lehet igazolni, hogy az ABC háromszög köré írt köre, a CMc szakasz Tálész-köre.

Egy eset marad még hátra, amikor az A-nál (vagy a B-nél) levő szög tompaszög van.
5. ábra A korábbiakhoz képest "kifordult" az ábra. A CMc szakasz egyenesére vonatkozó egyik féksíkban levő A és B pontokból látszik derékszög alatt a CMc szakasz.

Végezetül megjegyezzük, hogy az írásban levő ábrákat az Euklides programmal készítettük. Ez a tény biztosítja a téma tárgyalásának dinamikus geometriai módszerekkel való tárgyalásának lehetőségét.

Az Euklides programmal elkészített ábrában a C pont mozgatásával állíthatjuk elő a fenti eseteket.

Tarcsay Tamás