A fenti animáció úgy készült, hogy a (-Pi, Pi) inrtervallumon ábrázoltuk az
függvényt, miközben növeltük az n értékét. (Az n értéke 1-től 40-ig változik, majd újra indul az animáció.)
Ez azt jelenti, hogy egyre több tagot adtunk össze az f(x)képzése során.
Láthatjuk, hogy az n növelésével a grafikon egy jól ismert függvény, a másodfokú hatványfüggvény grafikonjához, az úgynevezett normál parabolához "közelít".
Megmutatható, hogy ez a közelítés az n növelésével tetszőlegesen javítható. Ezt a tulajdonságot a matematika nyelvén úgy szoktuk megfogalmazni, hogy
Az egyenlőség jobb oldalán látható végtelen összeg (függvénysor) a másodfokú hatványfüggvény Fourier-sora.
Az ezekre a függvényekre vonatkozó elmélet szerint a függvények egy elég nagy családja (a (- Pi, Pi ) intervallumon integrálható függvények halmaza) rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy a Fourier-soruk képezhető. Ennél szűkebb halmazra igaz csak az, hogy elemei Fourier-sora egyenlő velük.
A Fourier-sor fogalma a XVIII. század végéről származik, és Szőkefalvi-Nagy Béla professzor szerint ez egyike a matematikai analízis legnagyobb horderejű fogalomalkotásainak [1].
Néhány szó a gyakorlati alkalmazásokról
Már a Fourier-sorok elméletének kiindulópontjául is fizikai problémák szolgáltak. Ezek a következők voltak:
- A rezgő húr problémája [1]
A feladat egy transzverzális síkrezgéseket végző húr alakjának meghatározása tetszőleges t időpillanatban.
Erről a problémáról D'Alambert , Euler és Daniel Bernoulli között bontakozott ki egy vita. Ez vezetett el a Fourier-sorok fogalmának kialakulásához. - Egy hővezetési probléma [1], [2]
Egy homogén fémrúd két vége állandóan 0 Celsius fokos tartályhoz van rögzítve, a huzal hőszigetelővel van körülvéve, és ismert a hőmérséklet-eloszlás a huzalon a vizsgálat kezdetének pillanatában.
Kérdés az, hogy milyen módon számítható ki a hőmérsékleteloszlás egy t>0 időpillanatban.
Fourier 1807-ben megjelent, e témával foglalkozó dolgozata új lendületet adott az előbb említett probléma vizsgálatához is.
Komoly szerepe van a Fourier-soroknak a digitális módon történő jelfeldolgozásban [3], de az Országos Meteorológiai Szolgálat (OMSZ) egyik legfontosabb nemzetközi együttműködéséről tudósitó web-oldalon is találkozhatunk velük. Az emberi beszéd szintetizálásában, a hangszerek készítésében, a különböző akusztikai vizsgálatokban is szerepet kapnak ezek a nevezetes sorok.
A 2003. évi orvosi Nobel díjat Paul C. Lauterbur amerikai és Peter Mansfield brit tudós kapta a mágneses rezonancia elvét hasznosító tomográfia (MRI) fejlesztéséért.
Gerjesztett hidrogén atomok sugárzását vizsgálják. Tekintettel arra, hogy sok atom van, a kapott eredő rezgés tagjait a Fourier-analízissel (egy rezgés felbontása a Fourier-sorban szereplő trigonometrikus tagokra) választják el egymástól.
Láthatjuk, hogy a Fourier-soroknak nemcsak az elméleti jelentőségük kiemelkedő, hanem a gyakorlatban is nagyon fontosak.
Irodalom
- [1] Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok. Tankönyvkiadó, Budapest, 1975.
- [2] Németh József: Előadások a végtelen sorokról. Polygon, Szeged, 2002.
- [3] Gyimesi László: Digitális jelfeldolgozás.
