Vizsgáljuk a következő két halmazt!

• A={alma, körte, szilva, banán}
• B={majom, nyúl, ló, teve}

Ezek a halmazok nyilván egyenlő számoságúak, hiszen bijekció hozható létre közöttük.

Vizsgáljuk most a pozitív egész számok halmazát és a természetes számok halmazát! Az utóbbi valódi részhalmaza az előbbinek. Ezek szerint nem lehetnek egyenlő számosságúak? Vagy igen?

Tekintsük azt a függvényt, ami minden pozitív egész számhoz a nála eggyel kisebb számot rendeli! Milyen tulajdonságú ez a függvény?

Ha elgondolkodunk, és szem előtt tartjuk az előző részben megismert definíciókat, akkor meg kell állapítanunk, hogy ez a függvény bijekció. (Meglepő eredmény, nem?)

Ezek szerint a természetes számok halmaza olyan, hogy egyenlő számosságú egy valódi részhalmazával, a pozitív egész számok halmazával. Az ilyen tulajdonságú halmazokat végtelen halmazoknak nevezzük.

Az előző példában szerepelt A és B halmazok nem egyenlő számosságúak egyetlen valódi részhalmazukkal sem, az ilyen halmazok véges halmazok.

Az egész számok halmazát és a természetes számok halmazát nézzük meg ezek után!

A pozitív egész számok halmazához egy elem hozzávételével jutottunk a természetes számok halmazához, és vele egyenlő számosságú halmazt kaptunk.

A természetes számok halmazához „jóval több” elemet kell hozzávenni, hogy az egész számok halmazát kapjuk. Ekkor már valószínűleg nem kapunk vele egyenlő számosságú halmazt! Vagy igen?

Ezen érdemes lenne egy kicsit hosszabb ideig gondolkodni. Így a választ majd csak a következő részben adjuk meg.