A halmazok számosságáról III.
Tarcsay Tamás
2007/11/27 13:59
1059 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Legutóbb ott hagytuk abba, hogy a pozitív egész számok halmazát és a természetes számok halmazát kezdtük el vizsgálni az egyenlő számúság szempontjából.

Tekintsük azt az f    függvényt, ami a természetes számok halmazán van értelmezve és a hozzárendelési szabálya a következő:

  • Ha n természetes szám páros, akkor
  • Ha n természetes szám páratlan, akkor

Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy az f függvény bijekció a vizsgált két halmaz között, így az egész számok halmaza egyenlő számosságú a természetes számok halmazával és így a pozitív egész számok halmazával is. Tekintsük most már a pozitív racionális számok halmazát! Ezek aztán "még jóval többen" vannak, mint a pozitív egész számok. Vagy nem?

Nézzük a következő táblázatot!

Láthatjuk, hogy minden pozitív racionális szám szerepel ebben a táblázatban, többször is. Adjuk meg egy bejárási módját ennek a táblázatnak! (A következő ábrán ezt nyilakkal jelöljük.)

Értelmezzük most már a következő, a pozitív egész számok halmazán értelmezett, g függvényt a következő módon!

(A megadott bejárás szerint haladunk, azokat a pozitív racionális számokat, amik már korábban szerepeltek, kihagyjuk.)

Érdemes utána gondolni annak, hogy a g függvény a pozitív egész számok és a pozitív racionális számok közötti bijekció, tehát a két halmaz egyenlő számosságú. Az olvasóra bízzuk annak vizsgálatát, hogy a racionális számok halmaza egyenlő számosságú-e a pozitív egész számok halmazával. Végezetül még felvetünk egy kérdést, ami már eléggé természetes az eddigiek után. Bármely két végtelen halmaz egyenlő számosságú?

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten