Előzetesen felhívjuk a figyelmet arra, hogy a kifejezések tárgyalása során a valós számok halmazát és a velük végzett műveletek tulajdonságait ismertnek tekintjük.
Az algebrában kifejezésnek nevezzük a valós számoknak vagy betűknek a valós számok között használatos műveleti jelekkel való összekepcsolását.
Hatványkifejezések
A fenti kifejezésekben szereplő határozatlanok (betűk) a hatványkifejezések alapjai, a felső indexben szereplő pozitív egész számok a kitevők. Az 1-et a kitevőkben nem írjuk ki.
Hatványkifejezést úgy hatványozunk, hogy a kitevőket összeszorozzuk, az alap változatlan marad.
Azonos alapú hatványkifejezéseket úgy szorzunk, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük.
Ha különböző alapú hatványkifejezéseket szorzunk össze, akkor már kilépünk a hatványkifejezések köréből.
Egytagú algebrai egész kifejezések (egytagú polinomok)
Ha egyesítjük a valós számok, a hatványkifejezések valós számszorosának és a különböző alapú hatványkifejezések valós számszorosának a halmazait, akkor kapjuk az egytagú algebrai egész kifejezések halmazát.
Egytagú polinom fokszámán értjük a benne szereplő hatványkifejezések kitevőinek összegét. A valós számok fokszáma 0.
Az egytagú algebrai egész kifejezésekben szereplő valós szám szorzót együtthatónak nevezzük.
Egytagú polinomok szorzata olyan egytagú polinom, amelynek együtthatója a tényezők együtthatójának szorzata, és a tényezőkben szereplő azonos alapú hatványkifejezéseket a korábban már tárgyalt módon szorozzuk össze.
Egytagú algebrai egész kifejezés pozitív egész kitevős hatványa olyan egytagú polinom, amelynek együtthatója a hatványalap együtthatójának adott kitevős hatványa, és a benne szereplő tényezőket az előbbiekben már megmutatott módon hatványozzuk.
Egyneműnek nevezzük azokat az egytagú polinomokat, amelyek legfeljebb az együtthatójukban különböznek. Egynemű egytagú kifejezéseket úgy vonunk össze, hogy az együtthatóikat vonjuk össze. Nem egynemű egytagú algebrai egész kifejezések összevonása már kivezet az egytagú polinomok köréből.
Polinomok (többtagú algebrai egész kifejezések)
Ha egyesítjük az egytagú polinomok és az egytagú polinomok összevonásával kapott kifejezések halmazát, a polinomok halmazához jutunk.
Polinomok fokszámán a legnagyobb fokszámú tag fokszámát értjük, így beszélünk nullad-, első-, másod-, . . . n-edfokú polinomokról.
A polinomokat a bennük szereplő határozatlanok száma szerint is csoportosítani szoktuk.
Polinomok összevonásakor a bennük szereplő egynemű egytagú algebrai egész kifejezéseket a korábban említett módon vonjuk össze.
Polinomokat úgy szorzunk, hogy az egyik tényező minden tagját összeszorozzuk a másik tényező minden tagjával, és így kapott szorzatokat összeadjuk.
Polinomok hatványozását ismételt szorzásokra vezetjük vissza, így juthatunk el az alábbi összefüggésekhez:
A polinomok szorzattá alakítása nagyon sok probléma esetében (algebrai törtek egyszerűsítése, oszthatósági problémák, magasabb fokú egyenletek megoldása) jól használható.
E feladat megoldható például kiemeléssel, csoportosításos kiemeléssel, de a fenti összefüggések fordított irányú alkalmazásával is.
Algebrai törtek
Két polinom hányadosát algebrai törtnek nevezzük. Megjegyezzük, hogy minden polinom algebrai tört, hiszen 1-gyel osztva önmagát kapjuk.
A racionális számok analógiáját követve definiálhatjuk az algebrai törtek egyszerűsítését, bővítését és az alapműveleteket is.Két algebrai tört összege, különbsége, szorzata és hányadosa is algebrai tört.
Attól függően, hogy egy kifejezésben milyen műveletek szerepelnek, beszélhetünk irracionális, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezésekről is.
Ha egy kifejezésben a határozatlanok helyére valós számokat írunk, és a kijelölt műveleteket elvégezve egy valós számot kapunk, akkor ezt a kifejezés adott helyen vett helyettesítési értékének nevezzük.
Előfordulhat az is, hogy a határozatlanok helyére számokat helyettesítve a műveletek nem elvégezhetőek (0-val való osztás, negatív számból való négyzetgyökvonás, . . . stb.).
Egy n-határozatlanú kifejezés értelmezési tartományának nevezzük azoknak a rendezett valós szám n-eseknek a halmazát, amely helyeken a kifejezésnek van helyettesítési értéke.
Vannak olyan, kifejezéseken végezhető átalakítások, amelyek megváltoztathatják a kifejezés értelmezési tartományát. Ezek a feladatmegoldásokban sok bonyodalmat okozhatnak.
Az értelmezési tartományról leírtakhoz kapcsolódóan megemlítjük még, hogy a két kifejezés egyenlősége fogalmának értelmezése nem egyszerű dolog. Szakmai vitákat is eredményezhet ennek felvetése.
