A számírás fejlődése
2003/12/28 22:48
12104 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Napjainkban a hindu-arab számok írása egyeduralkodó a tudományos világban, de néhány száz évvel korábban még a római számok töltötték be ezt a szerepet. A számírás fejlődését az egyiptomi, a római és a mezopotámiai számírás vizsgálatával mutatjuk be.

Egészen biztos, hogy már az Őskorban is jelöltek számokat az emberek, amint azt sok barlangi rajzon, illetve egyéb leleten megtaláljuk. De ezeket a jelöléseket még nem szabad számírásnak nevezni, a tényleges számírás véleményem szerint az írással egyidős.

A jelenleg forgalomban levő tankönyvek némelyikében megtaláljuk az egyiptomi számírást, mindegyikben szó van a római számokról, de a tízes számrendszer kialakulásához mindenképpen szükség volt a helyiértékes írásmódra, amelyet először Mezopotámiában vezettek be, így e három ókori számírást vizsgáljuk meg.

Az egyiptomi számírás

Az ókori Egyiptomban kb. Kr.e. 3000 évvel kezdett kialakulni a hieroglif írás, ami gyakorlatilag egybeesik az Északi és Déli Birodalom egyesítésével, ebben az időszakban épültek a nagypiramisok is. Az egyiptomi írás formájára nézve képírás, valójában azonban szóírás.

Az egyiptomi számírás a tízes számrendszeren alapul, de még nem jelenik meg a helyiértékes írásmód,
az 1, 10; ...; 1 000 000 számok jelölésére rendre
a pálca; halom; zsinór; lótuszvirág; nádkéve; madár; térdeplő istennő stilizált rajzait használták:

Az írás iránya idővel változott, a Rhind-papiruszon már vízszintesen jobbról balra az összeadási elvnek megfelelően kell olvasni (additív rendszer), amelyet két példával mutatunk be:

Az egyiptomi számírásnál mindenképpen meg kell említenünk, hogy igen jól számoltak az elemi vagy törzstörtekkel (számlálójuk mindig 1), de érdekes a kétszerezéssel végzett szorzási eljárásuk is.

A római számírás

Római számokkal még ma is viszonylag gyakran találkozhatunk, pl. régi épületeken, vagy könyvekben a fejezetek jelzésére. Kialakulásukat többféleképpen magyarázzák, egyesek etruszk eredetűnek tartják, mások kézjelekre vezetik vissza. A legelfogadhatóbb magyarázat szerint a tíz jelölésére használt X így alakult ki:
megfelelő számú függőleges vonalkával jelölték 9-ig a számokat, a tizedikkel ezeket ferdén keresztbe áthúzták, azaz a ferde vonalnak tízszerező jelentése volt. Az így kapott X "felezésével" - etruszk mintára - kapjuk a V jelet. Ha másik irányba még egyszer ferdén áthúzzuk, ez újabb tízszerezést jelent. Az így kapott jelből - megintcsak etruszk mintára - már könnyen eljuthatunk a latin CENTUM (= száz) szó kezdőbetűjéhez, a C-hez:

Még nagyobb számjelhez jutunk a MILLE (= ezer) szó kezdőbetűjéből, és hasonló felezgetéssel megmagyarázhatjuk az L és D jeleket is, s ezzel már megkaptuk a teljes számjel-készletet:

A római számírás az egyiptomihoz hasonlóan additív rendszer, de ebben már megjelenik a sok azonos jel egymás utáni ismétlésének elkerülésére a kivonás is (szubtrakció). Meg kell azonban említenünk, hogy ez csak jóval később lett általánosan elfogadott, azaz pl. a 90-et előbb LCCCC-vel jelölték, csak később jelent meg helyette az XC alak. Ez a magyarázata annak, hogy az 1800-as években elkészült épületeken mindkettőre találhatunk példát, annak ellenére, hogy talán a kivonással felírt szám a helyesebb.

Bizonyára sokan ismerik a következő szabályokat is:

  1. Római számok írásánál legfeljebb három azonos jel kerülhet egymás mellé.
  2. A kivonni kívánt szám nem lehet tetszőleges: az L és C elé csak X-et, a D és M elé csak C-t írhatunk, például:

49 = XLIX (és nem IL) vagy 999 = CMXCIX (és nem IM).

Néha az egyiptomi számírásban is előfordult a nagyobb számok szorzással való felírása (multiplikációs elv), a római számokkal ez az eljárás sokkal gyakoribb volt: az XXM nem 980-at jelent, hanem hússzor ezret, azaz

XXM = 20 000.

  • valószínűleg ezért volt szükség a 2. szabály bevezetésére.

Később szükségessé vált a nagyobb számok még kényelmesebb leírása: ezerszerest jelentett a szám föléhúzása, és százezerszerest a "görög ketrec"-be helyezése :

A mezopotámiai számírás

Időszámításunk kezdete előtt 3200-2800 évvel Mezopotámiában két nagyobb nép élt viszonylag békésen: délen a sumérok, északon az akkádok. A sumérok nagy városokat építettek - Uruk, Ur, Eridu, Suruppak, Lagas - , amelyek népessége tízezres nagyságrendű volt. Ezek a városok laza szövetséget alkottak, egységes államot először I. SARRUKIN hozott létre, ő azonban már nem sumér, hanem akkád volt.

Ugyanerre a korra tehető az ékírás kialakulása is. Mivel mindkét népnek megvolt a saját tömegegysége - amely egyúttal pénzegység is volt, az egységes állam létrejöttével ezek mindegyikét megtartották: a sumérok által használt 1 mina hatvanszor nagyobb volt az akkádok által használt egységnél, az 1 sékelnél. Később a gazdasági fejlődés megkívánta még nagyobb pénzegység bevezetését, ez lett a talentum:

1 talentum = 60 mina (ma-na)= 3600 sékel

Feltételezhető, hogy ilyen metrikus okai vannak 60-as helyiértékes írásmód kialakulásának. Ennek lett köszönhető a későbbiekben az, hogy a Tigris és az Eufrátesz vidékén az egyiptominál lényegesen magasabb színvonalat ért el a matematika. Az ósumér időszakban (időszámításunk kezdete előtti 4. évezred) egy hengeres "íróvesző" kerek végét merőlegesen vagy ferdén nyomták az agyagba, vagy hegyes vesszővel karcolták a táblába. Így kapták a számokat jelentő kör vagy félkör lenyomatokat, ez még nem is ékírás, hanem inkább képírás volt, amely még a helyiértékes írásmód sem volt következetes.

A későbbiekben a hengeres íróvesző helyett háromszög keresztmetszetű íróveszőt használtak, amelyekkel a jelek is módosultak:

Vegyük észre, hogy az újabb jelölésben már az 1-nek és a 60-nak ugyanaz volt a jele - a 60-at egy nagy egységnek tekintették. Ez a helyiértékes írásmódhoz az első, s talán a legfontosabb lépés. Egytől tízig az egyiptomi számíráshoz hasonlóan rendezték el az egységet: legfeljebb három egységet rajzoltak egymás mellé, maximum három sorba, és ugyanígy jártak el a tízesekkel is - 59-ig.

A sumér számírásban tehát 59-ig még a nem helyiértékes 10-es számrendszerrel, nagyobb számok esetén pedig már a helyiértékes 60-as számrendszerrel írták a számokat.

Gondot jelentett azonban, hogy az üres helyiértéket nem jelölték, a számok nagyságrendjét a szövegből kellett kikövetkeztetni. Így elkerülhetetlenné vált a 0 jelének a bevezetése, ezt két egymás alá helyezett 10-essel jelölték:

Feladatok

  1. Melyik az az ezernél kisebb szám, amely római számmal való felírásában a legtöbb jel szerepel?
  2. Melyik az a legkisebb szám, amelyet római számmal felírva abban mind a hét római számjel szerepel?

Irodalom

  • Filep L. - Bereznai Gy.: A számírás története. Gondolat, 1982
  • E. Kofler: Fejezetek a matematika történetéből. Gondolat, 1965
  • Saint Márton: Nincs királyi út!. Gondolat, 1986
  • D. J. Struik: A matematika rövid története. Gondolat, 1958
  • Szerényi Tibor: A matematika fejlődése. Tankönyvkiadó, 1989
  • B.L. van der Waerden: Egy tudomány ábredése. Gondolat, 1977

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten