Az aranymetszés
2004/12/09 08:00
6719 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Az aranymetszést esztétikai értékeket hordozó tökéletes arányként tartjuk számon. Írásunkban a szerkesztését és néhány geometriai alkalmazását (pl. szabályos öt- és tízszög szerkesztése) mutatjuk meg.

A görög matematikusok azt a téglalapot tekintették legesztétikusabbnak, amelynek a és b oldalaira a következő arány teljesül: Az ilyen téglalap oldalait úgy kaphatjuk meg, hogy egy a hosszúságú szakaszt úgy osztunk fel két részre, hogy hosszuk szerint az egész úgy aránylik a nagyobb részhez, mint a nagyobb rész a kisebbikhez. Ekkor mondjuk, hogy a szakaszt az aranymetszés szabálya szerint osztottuk fel. Szokás azt mondani, hogy a b szakasz az a szakasznak az aranymetszete (sectio aurea). Az arányt átrendezve az a2-ba-b2 = 0 egyenlethez jutunk, amiből vagy ( csak pozitív megoldást feltételezve).

A természetben és az emberiség történetében ez az arány gyakran előfordul. A nautilus egy - a Csendes-óceán nyugati részén élő, a puhatestűek törzsébe, a fejlábúak osztályába tartozó - csigaházas polip, amelynek csodálatosan szabályos héja van. Bárhogyan is húzunk vonalat a középponton áthaladva, mindegyik metszés - (AC:DB = FG:EG) arány aranymetszés.
Az athéni Pantheon dinamikája is az aranymetszésből ered (A, B, C, D... H pontok). Dante Isteni színjátéka, amelynek 100 énekéből a 62.-ben (amelyet lehet 100 aranymetszetének felfogni) válik el Dante Vergiliustól, és itt csatlakozik hozzá Beatrice, hogy a Paradicsomon végigkísérje. Kodály Zoltán Psalmus Hungaricusa 395 ütemből áll, a 245. vagyis a 395∙0,618-adik taktus kezdetével esik egybe a mű eszmei mondanivalójának kimondása: "Istenbe vessed bizalmadat." Az emberi test arányaira az aranymetszetet alkalmazva a testhossz úgy aránylik a köldökmagassághoz, mint ez utóbbi a köldök-fejtető távolsághoz.

Ha adott egy a szakasz, annak a b aranymetszetét az ábrán látható módon szerkeszthetjük meg: A pontból a körhöz húzott érintő és szelőszakaszok tétele alapján az a2 = b ∙(b+a), amelyből ismét az a2- ab -b2 = 0 egyenlethez jutunk. Az r sugarú körbe írt szabályos sokszögek közül a szabályos háromszög, négyszög, hatszög szerkesztése közismert. De hogy lehet szabályos ötszöget vagy tízszöget szerkeszteni? Bizonyítható, hogy a szabályos tízszög oldala a körülírható kör sugarának aranymetszete. A szabályos tízszög oldalát az aranymetszet segítségével szerkeszthetjük:
Érdekes a szabályos tízszög b és szabályos ötszög c oldalai és a köréjük írható kör r sugara közötti pithagoraszi összefüggés: c2 = b2 + r2. Ez alapján szerkeszthetjük a szabályos ötszög oldalát is. Bár látszólag nem a fenti problémákhoz tartozik a kérdés, hogyan lehet 3°-os szöget szerkeszteni, de aki gondolkodott már ezen, az eddig megismert nevezetes szögek segítségével nem haladt előre. Mivel és a szabályos tízszög egy középponti szöge 36°, a fentiek alapján már meg tudjuk szerkeszteni ezt a szöget is az aranymetszés segítségével. Az aranymetszés című szakdolgozatot, amelyben a precíz matematikai vizsgálatokon kívül további érdekességek is találhatók.

Linkek

Letölthető Euklides-szerkesztések

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten