Dr. Munkácsy Katalin: Amikor az ismeretlen önmagával van megszorozva
Tarcsay Tamás
2003/01/06 12:06
2820 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Érdekességek a magasabb fokú egyenletek megoldásának történetéből I.

Ennek a cikknek a szerzője, aki az ELTE TFK docense, arra vállakozott, hogy áttekinti az egyenletek megoldási módszereinek történeti fejlődését. Nagyon tanulságos olvasmány született.

A magasabb fokú egyenletek legegyszerűbb képviselői a másodfokú egyenletek. Ezek megoldását minden magyar középiskolás megtanulja az érettségiig. Először kicsit bonyolultnak, titokzatosnak tűnik a megoldási algoritmus, de rövid gyakorlás után kiderül, hogy az egyszerű matematikai problémák közé tartozik. A harmadfokú egyenletek megoldása sokkal hosszadalmasbb, sokkal bonyolultabb képletekkel történő számolásokat igényel. A gyakorlatban szinte soha nem használt algoritmusról van szó. Ellenben a megoldóképlet keresésének fontos szerepe volt a matematika fejlődésében. A felfedezés folyamatában megszületett részletmegoldások és a munka során felmerült újabb megoldandó kérdések az igazán nagy jelentőségűek.

Ókori eredmények

Euklidesz

Már az ókori kultúrákban, Kr.e. II. évezredtől, is ismertek eljárásokat a másodfokú egyenletek megoldására. Nincsenek emlékeink arról, hogy hogyan fedezték föl a megoldás módját, de az biztos, hogy sem az általunk ismert levezetésnek, sem a megoldóképletnek nincsen és nem is lehet nyoma, hiszen mindkettő az algebrai jelölésrendszerre épül, azt pedig soká, a XVI. században alakult csak ki. Hogyan oldottak meg tehát másodfokú egyenleteket az ókorban? Szöveges utasítást, receptet írtak le az elvégzendő számításokról. Ezeknek számos emléke fennmaradt.
Érdekesség, hogy a görögök a másodfokú egyenleteket geometriai úton oldották meg a területkiegészítés módszerével. Két tétel is bemutatja Euklidesz Elemek című, a Kr. e VI. században írt művében a megoldás menetét.Részleten olvashatunk a körzővel-vonalzóval történő egyenletmegoldásról Ringler András cikkében Másodfokú egyenletek geometriai megoldása címmel (Polygon, 2002 június).

Descartes Az arab matematika fénykora a VI-XIII. században volt. Az arab matematikusok már nem tartották fontosnak az egyenletmegoldások geometriára történő visszavezetését, de csak Descartes (René du Peron Descartes, 1596-1650) volt az, aki elméletileg megindokolta, hogy a geometriai szemléletmódtól el lehet térni, az nem jelenti a matematikai szabatosság csökkenését. Descartes a szakaszok szorzatát nem téglalapként, illetve téglatestként értelmezte, ahogyan azt a görögök tették, hanem szakaszokhoz szorzatként szakaszt rendelt, az egységszakasz közbeiktatásával. Ez az új gondolat tette lehetővé a háromnál magasabb kitevő értelmezését és a hatványfüggvények ábrázolását is. (Descartes féle koordinátarendszer)

Átmenet a nyugat-európai matematika felé

Fibonacci

A nyugati matematikába a másodfokú egyenlet megoldásának módja arab közvetítéssel szinte észrevétlenül beépült, ez a művelt emberek tudásának a XIII. századtól természetes része volt.
Leonardo Pisano (Fibonacci) (1170 ? -1240?) Kereskedőként bejárta az akkor ismert világot, megismerte a keleti matematika eredményeit. Az arabok tudása először az ő közvetítésével jutott el Európa nyugati részébe.

Közelítő egyenletmegoldásokat ismerünk Kínából és Perzsiából, már a VII. századból, illetve még korábbi időkből.. E módszerek európai elterjedéséről nincsenek adatok. Feltehetőleg Európában is használtak közelítő megoldásokat, de azokat nem a matematika, hanem a gyakorlati alkalmazás részének tekintették. Csak sokkal később történik említés a közelítő megoldásokról. A szakirodalom a Horner elrendezésről, ami a közelítő gyökmeghatározás legismertebb algoritmusa, annyit ír, hogy Hornerről (William Georg Horner (1786-1837), angol matematikus) nevezték el.

A harmadfokú egyenlet megoldóképlete

A probléma

A harmadfokú egyenletek gyökeinek pontos ismeretére tulajdonképpen semmi szükség nincsen. Nem voltak e korban olyan, gyakorlati szempontból jelentős problémák, amelyek harmadfokú egyenletre vezettek. Elméletileg pedig a közelítő megoldások ugyanolyan pontos gyöket szolgáltatnak, mint a megoldóképletek, hiszen általánosságban a racionális együtthatójú magasabb fokú egyenletek gyökei valós számok, így a gyököket tekintve teljesen mindegy, hogy egy elvileg pontos eljárás által szolgáltatott irracionális gyök közelítő értékét kapom meg, vagy eleve közelítő eljárással kapom meg a gyököket.

Miért foglalkoztak hát a harmadfokú egyenletek megoldóképletének keresésével?

A matematika szempontjából közömbös a fenti különbség, de nem az, ha a matematikusok személyes ambicióit tekintjük. A gyökök ismeretében felírni a harmadfokú egyenlet valamelyik szokásos formáját, ez nagyon egyszerű, gyors eljárás. Bosszantó és érthetetlen, hogy az eljárás fordítva nem működik. Még ha ismerték is a gyököket, akkor sem találtak olyan eljárást, ami a gyököket szolgáltatja. Ez nagy kihívás lehett a XV század számolni tudó, matematikával foglalkozó értelmiségének. "Tudom, hogy van gyöke az egyenletnek, hiszen én magam írtam azt föl összeszorzással - és mégsem tudom megoldani az egyenletet."

Egy kis kitérő

Analóg probléma fellépett az ókorban is. Szöget háromszorozni szabályos euklideszi eljárással gyerekjáték, a szögharmadolás problémája viszont évezredekig kérdés volt, és mikor eldőlt, kiderült, hogy általában megoldhatatlan a feladat. És ma is hasonló tartalma van a P --NP problémáknak. Például prímszámokat összeszorozni - ez senkinek nem jelenthet problémát, ellenben egy, modjuk, 200 jegyű számot prímtényezők szorzatára bontani: aktuális, megoldandó, gyakorlati jelentőséggel is bíró matematikai feladat.

Ez a bizonytalanság, kétértelműség okozta feltehetően azt, hogy a harmadfokú egyenlet megoldóképletének keresése a XV-XVI század fordulójának egyik központi problémája volt, a matematikai párbajok főszereplőjévé lépett elő.

Pár szó a történeti háttérről

A XV. században kialakuló, fejlődésnek induló itáliai egyetemeknek oktatókra volt szükségük. Nagy tekintélyű, jelentős személyiségeket akartak szolgálatukba fogadni. A felelősségteljes választáshoz szakemberekre volt szükség, de a szóba jöhető szakemberek természetszerűleg maguk is érdekeltek voltak a legjobb állások betöltésében. Nehéz volt megbízható eljárást kitalálni a döntéshez. A matematikai párbajok a mai pályázatok, bíráló bizottságok ősei voltak.
Azok, akik tudományos tekintélyt, és ennek következtében jó állást kívántak szerezni, matematikai párbajra hívták ki kollégáikat. A párbaj lefolytatásának szabályai változtak az idők során. Közös vonásuk volt, hogy a két párbajozó fél benyújtott egy-egy feladatsort a zsűrinek a megoldásokkal együtt, majd ezeket a zsűri kitűzte a másik fél számára. Aki előbb és természetesen helyesen oldotta meg az összes kapott feladatot, az lett a győztes. A vesztes fél kötelessége volt a győztest és annak barátait egy ünnepélyes lakomán vendégül látni.

A harmadfokú egyenletek a matematikai párbajokban kitüntetett szerepet játszottak - és a harmadfokú egyenletek megoldásában a matematikai párbajoknak nagy jelentőségük volt.

Matematikusok

A korszak fontos személyiségei közül most csak néhányat említek meg:
Pacioli Luca Pacioli (1445?-1517), olasz matematikus, ferencesrendi szerzetes volt. 1494-ben jelent meg Summa de Arithmetica című műve, ami a korabeli algebrát, trigonometriát és aritmetikát foglalta össze olasz nyelven. A könyv az egyik első nyomtatott matematika könyv volt. Pacioli a befejezésben még azt írta, hogy a harmadfokú egyenletre megoldóképletet találni reménytelen, akárcsak a kör négyszögesítése, vagyis a kör területének kiszámításához szükséges pi értékének pontos kiszámítása vagy szabályos megszerkesztése.

Scipione del Ferro (1456-1526), szintén olasz matematikus, a bolognai egyetem professzora volt. Ő talált először megoldóképletet a harmadfokú egyenlet megoldására, pontosabban a harmadfokú egyenletek egyik típusára, az x3+bx=c alakúra. Eredményét nem publikálta, csak barátaival közölte. Ez a kortársak számára szenzáció volt akkoriban, a nagy Fermat sejtés most néhány évvel ezelőtt megszületett bizonyításához hasonló meglepetést kelthetett.
Tartaglia Niccolo FontanaTartaglia (1500?-1557), számolómester volt, foglalkozása talán a mai könyvelőkének felelhetett meg, a matematikusok között nem volt tekintélye, neve is gúnynév volt eredetileg, dadogót jelent. 1535-ben vívott matematika párbajt Fioréval. Fiore Ferrotól megismerte a harmadfokú egyenlet megoldóképletét. Amikor ezt Tartaglia megtudta, ő is nekilátott a megoldókélet keresésének. Megtalálta a megoldást az előbb említett típusra, az x3+bx=c, alakúra, sőt továbblépett, megoldotta a x3=bx+c alakú egyenleteket is.

Itt érdemes megállni egy pillanatra. Miben különbözik ez a két típus? Látszólag lényegtelen a különbség, de a korabeli matematikai műveltség egy érdekes vonására utal. A matematikusok a másodfokú egyenletek megoldási módszerét továbbfejlesztve keresték a harmadfokú egyenletek megoldóképletét, nagy technikai tudással alakították át az algebrai kifejezéseket, harmadik gyököt vontak, de nem használták a negatív számokat. A kivonást természetesen ők is alkalmazták, de csak nagyobb (pozitív) számból vonták ki a kisebbet, fordítva sohasem. Így az egyenletek esetleges negatív gyökét hamis gyöknek tekintették, és az egyenletekben sem szerepeltettek negatív együtthatókat, tehát az a x3-bx=c egyenletet a x3=bx+c alakban írták föl, és erre is külön kidolgozták a megoldó algoritmust.


A párbaj Tartaglia fölényes győzelmével végződött.

További érdekesség is fűződik Tartaglia nevéhez. Ferrarival (egy újabb F betűs olasz matematikus) vitába keveredett prioritási kérdésekben. Vitairataik megjelentek, innen ismerjük a harmadfokú egyenlet megoldásának sztoriját.

Cardano Girolamo Cardano (1501-1576) polihisztor, matematikus, fizikus és orvos volt.
Matematika könyvében, 1545-ben megjelent Ars magna-ban összefoglalta az algebra fejlődésének új eredményeit. Ő már a negatív számokat is számnak tekintette. Tartagliára hivatkozva közölte a harmadfokú egyenletek speciális alakjainak megoldását, majd általánosította azt az ax3+bx2+cx+d=0 alakban fölírható, vagyis az összes harmadfokú egyenletre, ahol az együtthatók negatív számok , és az a kivételével 0 is lehetnek. (Tartaglia a közlés tényén nagyon megsértődött, ő szívesebben tartotta volna titokban módszerét.) E könyvben a negyedfokú egyenlet megoldóképlete is szerepel Ferrari eredménye alapján.

Ludovico Ferrari (1522-1556), ebben a történetben már kétszer is említett olasz matematikus; Cardano tanítványa volt.

Raffael Bombelli (1526-1572), mérnöki munkájából élő matematikus volt. A képzetes számok elmélete felé tett első lépések fűződnek nevéhez.

Néhány évtizeddel Bombelli előtt még a negatív számokat sem tekintették igazi számoknak, a korszak végére pedig, éppen a harmadfokú egyenletek megoldóképlete miatt a komplex számok is a matematika elemeivé váltak.

Francois Viete (1540-1603) francia matematikus, aki jogászként kereste kenyerét.
Az egyenletmegoldás általános módszereit kereste. A harmadfokú egyenlet algoritmusában feltalált egy kerülő utat, ami lehetővé tette a komplex számok kikerülését az egyenlet gyökeinek keresése közben. Ennél fontosabb eredménye, hogy algebrai szimbólumokat vezetett be, ezzel nagyon meggyorsította a matematika fejlődését.

A diákok idegenkednek a matematikai jelölésektől, de képzeljük el, ha a szokásos középiskolai matematika tananyagot csak szövegesen leírva látnánk, beleértve az egyenletek megoldásának menetét is - mennyire nehéz lenne így a tanulás.

Az izgalmas küzdelmek eredményeképpen megszületett az algoritmus a harmadfokú egyenletek megoldására..

Az itt szereplő adatokat Sain Márton Nincs királyi út című matematikatörténeti könyvéből, illetve az az alapján készült CD-ből gyűjtöttem. Ezek a kiadványok ilyen krimi-szerű nyomozást is lehetővé tesznek.

Felmerült új problémák

Igazi számokká váltak a negatív számok, és velük szinte egyidőben a matematikusok a komplex számokkal is számolni kezdtek. Tulajdonképpen mik ezek az új számok? Valóban szükség van rájuk?
És felmerültek további kérdések: Hogyan oldhatók meg azötödfokú, és az annál is magasabb fokú egyenletek? Van-e lehetőség tetszőlegesen magas fokú egyenlet megoldóképletének megtalálására?

Hogyan használható ez a cikk az oktatásban?

A rovatvezető megjegyzései:

1. A másodfokú egyenletek témakörében gyakran oldunk meg magasabb fokú, másodfokúra visszavezethető egyenleteket. Ekkor a gyerekek fel szokták vetni, hogy mit tehetünk akkor, ha nem tudjuk visszvezetni másodfokúra az egyenletet?
Ebben az esetben jól hasznosítjatjuk az itt összegyűjtött ismeretenyagot.

2. Vannak olyan diákok, akik a történelem iránt nagyon érdeklődnek. Ha őket a matematikához közelíteni akarjuk, akkor ezt indirekt módon, a matematikatörténet segítségével tehetetjük meg.

3. A középiskolás diákokban ki kell alakítani a komunikációs készséget. Ennek matematikaórán az egyik eszköze a kiselőadások tartatása lehet. Ebből a cikkből sok témát tűzhetünk ki.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten