Egy érdekes sorozat
Tarcsay Tamás
2004/09/27 09:48
1054 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
"Mekkorára nőhet a sugár?" címmel több évvel ezelőtt egy, a Theoni Pappas The joy of mathematics című könyvéből származó problémát adtunk közre. Most egy szakkörön újra előkerült ez a téma, és eredményekről számolhatunk be.

A probléma pontos szövege az említett írásban olvasható.

A sorozat szigorúan monoton növekedésének bizonyítása az azt megadó rekurzív képlet,
megtalálása után már nem okozott nehézséget.
A TI83-as számológéppel írott program azt sejtette, hogy konvergens a sorozat. Azt is tapasztaltuk, hogy ha van határéték, az 9.68-nál nagyobb.

Megadtuk a sorozat - előzővel ekvivalens - definicióját is:
Ennél tovább már nem jutottunk.

Eljuttattuk a problémát Dr. Németh József tanár úrhoz, aki másnap reggel a következő állítást küldte vissza:

Németh tanár úr tétele:

A végtelen tényezős szorzat létezik és értéke legalább 1/12.

Megjegyezzük, hogy a végtelen tényezős szorzatot a számsorhoz hasonlóan értelmezzük, az első n tényezős szorzat-sorozat határértékeként.
E tétel következménye az, hogy az általunk vizsgált r(n) sugár-sorozat határértéke létezik, és 12-nél nem nagyobb.

Az állítás - Németh tanár úr által adott - bizonyítása a következő két összefüggésen alapul:
Az (1) állítás bizonyítása olvasóink számára házi feladat lehet. Aki eredményre jut, írja meg nekünk!

A (2) azonosság komplex függvénytani módszerekkel igazolható, de nem teljes precizitással Euler is foglalkozott vele.

A fenti összefüggéseket felhasználva a


A egyenlőtlenség jobb oldalán szereplő szám "jóval nagyobb", mint 1/12 (a közelítő értéke 0.0999), így a tételt bebizonyítottuk.

Hát ennyi az előrelépés, de azért gondolkodni való még akad. Azt például jó lenne tudni, hogy mi a sugár-sorozat határértéke.

Várjuk a további előrelépésekről szóló híradásokat!

Tarcsay Tamás

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten