Feladatok:

1. Egy háromszög (M) magasságpontját tükrözzük az egyik oldal (c) felezéspontjára (Fc). Milyen (Mc) pontot kapunk?

2. Egy háromszög (M) magasságpontját tükrözzük az egyik oldal (c) egyenesére Milyen (Mc') pontot kapunk?

3. Igazoljuk, hogy egy háromszögben a köré írt kör középpontja és az egyik oldal távolsága fele akkora, mint a szemközti csúcs és a magasságpont távolsága!

4. Tekintsük a k körbe írt olyan háromszögeket, amelyek egyik csúcsa a kör egy rögzített C pontja, a C-vel szemközti oldal pedig, állandó c hosszúságú; a c kisebb a kör átmérőjénél.
Határozzuk meg az összes ilyen háromszög magasságpontjának a halmazát (mértani helyét). [OKTV 1992/93. II. forduló, II. kategória, 3. feladat]

5. Az ABC hegyesszögű háromszög C csúcsa egyenlő távol van a magasságpontjától és a háromszög köré írt kör középpontjától.
Mekkora az ACB szög?

Megoldások:

1. Ennek a feladatnak a megoldásáról szól egy korábbi írásunk.

2. Tekintsük a következő ábrát!
1. ábra A TcFc szakasz az MFc'Mc háromszög középvonala, ezért párhuzamos az Mc'Mc szakasszal.
A CTc szakasz magasság, így merőleges az AB-re.
Ebből következően a CMc'Mc szög derékszög. Ezért a Mc' pont rajta van a CMc szakasz Tálész-körén, ami - az 1. feladat szerint - az ABC háromszög köré írt köre.
Kaptuk tehát, hogy a magasságpont oldal egyenesre vonatkozó tükörképe illeszkedik a háromszög köré írt körre.

3. Nézzük meg a következő ábrát!
2. ábra Az 1. feladatban bizonyítottak szerint a CMMc háromszögben az OFc középvonal, így az OFc szakasz fele akkora, mint az CM szakasz. A bizonyításból az állításnál több is adódik, hiszen igaz az is, hogy az említett szakaszok párhuzamosak.

4. A problémát a következő ábra szemlélteti:

3. ábra Az előző feladatban beláttuk, hogy az MC szakasz hossza a FcC szakasz hosszának a kétszerese.
Tekintettel arra, hogy ez utóbbi szakasz hossza állandó, az MC is állandó, így az M pont a C középpontú, 2 FcC sugarú körön van.

5. Tekintsük a következő ábrát!

4. ábra A 2. feladatból tudjuk, hogy az M pont A-val szemközti oldal egyenesre vonatkozó tükörképe Ma' a háromszög köré írt kör pontja.
A tengelyes tükrözés távolságtartó tulajdonságából következik, hogy CO = CM = CMa' = Ma'O a kör sugara. Ezért az OCMa' háromszög szabályos, ebből adódóan a COMa' szög 60 fokos.
Ehhez a középponti szöghöz tartozik a CATa kerületi szög, ami 30 fokos. Tekintettel arra, hogy a CTaA szög derékszög, a keresett ACB szög 60 fokos.

Ehhez az íráshoz (is) az ábrákat az Eulides programmal készítettük, ezért végezetül megadjuk azt egyes problémákhoz tartozó Euklides fájlokat:
1. feladat
2. feladat
3. feladat
4. feladat
5. feladat

Tarcsay Tamás