Az itt közölt feladatsor a 2006. évi, 14. számú emelt szintű érettségi tételhez kapcsolható
Induljunk ki egy régebbi KöMaL feladatból! B. 3423. Alkothatnak-e egy háromszög beírt körének az oldalakon levő érintési pontjai tompaszögű háromszöget?

1. ábra A beírt körhöz a csúcsokból húzott érintő szakaszok egyenlők, így az AQR, a BRP és a CQP háromszögek egyenlő szárúak.

Ebből következik, hogy a vizsgált háromszög egyik szöge egyenlő az eredeti háromszög azon két szögének számtani közepével, amelyek közös szárán van a szög csúcsa. Ebből már azonnal adódik a bizonyítandó állítás.

Felvethetjük ezek után, hogy az előző tétel mit jelent arra az esetre vonatkozóan, amikor az ABC háromszög derékszögű.

Könnyen igazolható, hogy ekkor a beírt kör érintési pontjai által meghatározott háromszög derékszöggel szemközti szöge 45 fokos.

Nem tudjuk pontosan, hogy milyen versenyről származik a következő, itt vizsgálható probléma:

Egy hegyesszögű háromszögben az egyik csúcs és a magasságpont távolsága egyenlő a szemközti oldal hosszával. Mekkora a háromszög adott csúcsnál levő szöge?
2. ábra

Könnyen igazolható az ACT háromszög és a MTB háromszögek egybevágósága, amiből következik, hogy CT = TB. Ez viszont azt jelenti, hogy a CTB háromszög egyenlő szárú derékszögű háromszög, azaz a B-nél levő belső szög 45 fokos.

Érdemes megfogalmaztatni a gyerekekkel a kapott állítás megfordítását, ami így szól.

Ha egy hegyesszögű háromszög egyik szöge 45 fokos, akkor az ehhez tartozó csúcs és a háromszög magasságpontjának távolsága egyenlő a szemközti oldal hosszával.

A vázolt előzmények után a bizonyítás már nem jelenthet gondot.

Következzen most már egy újabb KöMaL feladat!

B. 3873. Az ABC derékszögű háromszög beírt köre az AC befogót P-ben, a BC befogót Q-ban, az AB átfogót R-ben érinti. Legyen M a PQR háromszög magasságpontja. Igazoljuk, hogy RM=PQ.

Javasolta: Gerőcs László. A megoldást (ezek után) már az olvasóra bízzuk.