Már egy korábbi írásunkban is beszámoltunk az ott közölt probléma keletkezéséről. Felvetődhet az a kérdés, hogy miért tesszük ezt. Nem mindegy, hogy milyen úton jött létre az a feladat, amelynek megoldásával kell megbirkózni? A lényeg az, hogy sikeres legyen a próbálkozásunk. Bizonyára sokan gondolhatják így, de véleményünk szerint nincs igazuk. Az ilyen jellegű cikkek megjelentetésével az a célunk, hogy a megoldott problémák továbbgondolására ösztönözzük tanítványainkat, olvasóinkat.. Általánosításokat kereshetünk, és további feladatok megfogalmazásához is eljuthatunk. Ez a tevékenység nem öncélú, javítja lényeglátó és absztrakciós képességeinket, ezekre pedig, a matematikával foglalkozóknak nagy szükségük van.
Nézzük a feladatot!
Adott az ABC háromszög. Az AD szakaszra igaz, hogy párhuzamos az AC szakasszal, és egyenlő hosszú a BC szakasszal. Az AE szakasz párhuzamos a BC szakasszal, és egyenlő hosszú az AC szakasszal. Az E, D és C pont az AB egyenesre vonatkozó azonos féksíkban vannak. A C-ből induló súlyvonal egyenes, C-ből induló belső szögfelező egyenesre vonatkozó tükörképe sc'.
Igazoljuk, hogy az AD, BE és sc' egyenesek egy pontban metszik egymást!
Javasoljuk, hogy először önállóan próbáljuk megoldani a feladatot, csak ez után olvassuk el a keletkezéséről szóló részt. Ha nem boldogultunk a megoldással, akkor ez segíteni fog.
Hogyan keletkezett?
Az alábbi feladatok vizsgálata vezetett a most tárgyalt probléma megszületéséhez:
1.
A KöMaL egyik feladata így szólt:
Az a) kérdésre az a válasz adódik, hogy egy-egy tükörkép a szemközti oldalt a szomszédos oldalak négyzeteinek arányában osztja.
A b) állítás igaz, ez az előző eredmény birtokában a Ceva tétel segítségével bizonyítható.
2.
Milyen arányban osztja a derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót?
A befogótétel segítségével igazolhatjuk, hogy az átfogóhoz tartózó magasság az átfogót a szomszédos befogók négyzeteinek arányában osztja.
3.
Egy derékszögű háromszög befogóira kifelé négyzeteket írunk. Az átfogó mindkét végpontját összekötjük a szemközti befogóra rajzolt négyzet legtávolabbi csúcsával. Igazoljuk, hogy ez a két egyenes az átfogóhoz tartozó magasság egyenesén metszi egymást!
Felhasználva azt, hogy az A1BD háromszög hasonló az A1CA háromszöghöz, és azt, hogy B1GA háromszög hasonló a B1CB háromszöghöz, valamint az előző feladat eredményét és a Ceva tételt, adódik az állítás.
Ha eddig nem boldogultál a kitűzött példa megoldásával, most próbálkozz újra!
