Fontos síkgeometriai fogalmak
Tarcsay Tamás
2003/06/11 08:00
5133 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
A poliéderekről szóló interaktív képeskönyvhöz szükséges fontos síkgeometriai fogalmakkal ismerteti meg az olvasót ez a cikk. Sok VRML ábrával szemléltetett példát és ellenpéldát megvilágítva jutunk el fogalmak kialakításáig.

Reméljük, türelmesebb olvasóink végig fogják követni ezt a - néha talán túlságosan is körülményesnek tűnő - utat. Akik mégsem, azok számára is nyitva áll az a lehetőség, hogy lexikonszerűen használva ezt az oldalt, felidézzék az éppen aktuális kérdéshez tartozó fogalmakat, példákat.

Töröttvonal

A 0, 1, 2 , ...N ( véges sok, különböző) pont által meghatározott 0-1 , 1-2 , 2-3 , ... N-1 - N szakaszokból álló geometriai alakzatot töröttvonalnak - másképpen poligonnak - nevezzük. A töröttvonal szomszédos szakaszai - élei - a közös végpontú szakaszok. A pontok a töröttvonal csúcsai, vagy másképpen szögpontjai. Az elsőként megadott csúcs a töröttvonal kezdőpontja, az utolsóként megadott a végpontja.

Egy töröttvonal síkbeli, ha az összes csúcsa egy síkra illeszkedik. Zárt, ha a kezdő és végpontja egybeesik. A zárt töröttvonalat csúcsai ciklikus felsorolásával adjuk meg. Bárhol kezdhetjük a felsorolást, ha tudjuk hogy zárt a töröttvonal, akkor az utolsónak és elsőnek felsorolt csúcsot is él köti össze. Egy ciklus elemeit kétféle "irányban" haladva sorolhatjuk fel, ennek megfelelően egy zárt sokszögnek kétféle irányítást adhatunk. (Később ezt ki is fogjuk használni.)

Egy töröttvonal egyszerű, ha az előírtakon kívül nincs a szakaszoknak közös pontjuk. Ha ez nem teljesül, akkor előfordulhat, hogy a csúcsait felsorolva valamely csúccsal többször is találkozunk a felsorolásban, vagy egy csúcs valamely nem hozzá tartozó él belső pontja. Ekkor ún. ön-érintő sokszögvonalhoz, ha pedig a töröttvonal metszi önmagát, akkor önátmetsző sokszögvonalhoz jutunk.

P1(1-2-3-4-5) : egy nem síkbeli, nem zárt töröttvonal, bár ez egy rajzról nem derül ki, Ha azonban azt mondjuk, hogy mindegyik él merőleges a szomszédjaira - mint ha pl. egy kocka kiválasztott élei lennének, akkor már hihető a dolog. Látjuk tehát, hogy alkalmasint nem elegendő - sőt, nem is lehet - egyetlen rajzzal megadni egy töröttvonalat. Legfeljebb akkor, ha pl. kikötjük, hogy a töröttvonal síkbeli.

P2( 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 4 - 7 ) , P3 ( 1 - 2 - 3 - 4 - 5 ) : zárt, síkbeli, ön-érintő sokszögek.

P4 (1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 ) , P5 ( 1 - 2 - 3 - 4 - 5 ) : önátmetsző zárt síkbeli sokszögek

Itt jegyezzük meg, hogy ugyanaz a rajza a P2 és P4 alakzatnak, mégis különböznek (már a csúcsaik számában is). Az önátmetsző sokszögvonal metszéspontjait nem soroljuk a csúcsai közé. Egy töröttvonalat valóban a csúcsai felsorolásával (és természetesen a csúcsok egyértelmű meghatározásával) kell megadnunk. A csúcsok (általában a sík vagy tér pontjainak) egyértelmű megadása a geometria egyik alapvető kérdése. Történhet pl. egy síkbeli rajzzal, ha a pontok nincsenek egy síkban, akkor ábrázoló geometriai módszerekkel, vagy síkbeli, ill. térbeli koordinátáival. Mindig az adott problémaszituáció, a téma "környezete" dönti el, hogy az egyértelmű megadás hogyan történjék. A túlságosan "laza", hiányos megadás épp oly hiba, mint az adott körülményekhez képest túl precíz, körülményes fogalmazás. Általában azt lehet mondani, hogy olyan precíznek, pontosnak kell lennie a megadásnak, hogy az minden felhasználó (olvasó) számára egyértelmű legyen, mindenki számára ugyanazt jelentse.

Pl. ugyanaz a rajza az egymástól különböző P2(1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 4 -7) , valamint a P6( 1- 2 - 3 - 4 - 6 - 5 - 4 -7) zárt síkbeli sokszögeknek. Az előbbi ön-érintő, az utóbbi önátmetsző sokszög. Ez a tulajdonságuk az általuk határolt síkrészek megadásánál kap jelentőséget. Tehát nem mondhatjuk, hogy egy sokszögvonal egyértelmű megadásához elegendő lerajzolnunk a sokszöget. Még akkor sem, ha a csúcsait megszámozzuk a rajzon. (Egy rajz végül is csak egy - matematikai - fogalom szemléltetésére szolgál, nem azonos magával a fogalommal. Legfeljebb azt mondhatjuk, hogy ha ez nem értelemzavaró, akkor a fogalom egyértelmű megadását egy rajzzal is megtehetjük.)

Egy egyszerű töröttvonal is lehet elfajuló, ha a szomszédos élei egyenesszöget zárnak be.

Ezeknek a sokszögeknek -bár síkbeliek - a mellékelt vrml fájlokban természetesen térbeli koordinátáikkal adtuk meg a csúcsaikat. Így valójában nincs értelme felvetnünk azt a kérdést, hogy most pozitív, vagy negatív körüljárásúak-e. Erre a kérdésre később ki fogunk térni. Bizonyítható, hogy az egyszerű, zárt síkbeli töröttvonal, az ún. egyszerű sokszögvonal két részre osztja a sík rá nem illeszkedő pontjait úgy, hogy a különböző síkrészekhez tartozó pontokat csak olyan (ugyancsak ebben a síkban fekvő) töröttvonallal tudjuk összekötni, amely az egyszerű sokszögvonalat páratlan számú (tehát legalább egy) pontban metszi. E síkrészek egyike nem tartalmaz félegyenest, azaz korlátos.

Sokszög

Az előző oldalon szerepelt az a bizonytható állítás, hogy az egyszerű, zárt síkbeli töröttvonal, az ún. egyszerű sokszögvonal két részre osztja a sík rá nem illeszkedő pontjait úgy, hogy a különböző síkrészekhez tartozó pontokat csak olyan (ugyancsak ebben a síkban fekvő) töröttvonallal tudjuk összekötni, amely az egyszerű sokszögvonalat páratlan számú (tehát legalább egy) pontban metszi. E síkrészek egyike nem tartalmaz félegyenest, azaz korlátos.

Ezt a síkrészt egyszerű sokszöglapnak nevezzük.

Az egyszerű sokszög jelentheti a sokszögvonalat, vagy a sokszöglapot is. Csak akkor szoktuk külön jelezni, hogy a sokszögvonalat vagy a sokszöglapot értjük a sokszögön, ha ez a szövegkörnyezetből nem derül ki.

Egy egyszerű sokszög(lap) konvex, ha bármely két pontja összeköthető olyan szakasszal, amelynek minden pontja a sokszöglaphoz tartozik.

P8 egy egyszerű (nem konvex) sokszöglap.

Kissé általánosabban: közönséges sokszöglapnak (sokszög tartománynak, röviden sokszögnek) nevezzük a véges sok egyszerű, zárt síkbeli töröttvonal által határolt korlátos síkrészt, melyben bármely két sokszögvonal diszjunkt, azaz nincs közös pontja. A közönséges sokszöglap minden csúcsára pontosan két él illeszkedik. Ha egy közönséges sokszögvonal határát képező bármely egyszerű sokszögvonal valamely pontja köré rajzolunk egy (a sokszög síkjában fekvő) tetszőlegesen kicsi sugarú kört - úgy mondjuk, hogy tekintjük egy tetszőleges (síkbeli) környezetét - akkor ennek a körlapnak mindig lesz a sokszöglaphoz tartozó, és nem tartozó része. Egy közönséges sokszöglap összefüggő, ha bármely két pontja összeköthető olyan egyszerű töröttvonallal, amelynek nincs közös pontja a sokszöglapot határoló egyik egyszerű sokszögvonallal sem. (A fenti meghatározás lehetővé teszi azt is, hogy egyetlen sokszöglapnak tekintsünk egmással nem összefüggő síkrészeket is, bár ezeket általában külön sokszögeknek tekintjük.

Két egyszerű sokszögvonallal határolt nem összefüggő (közönséges) sokszöglap

P9 két egyszerű sokszögvonallal határolt közönséges sokszög.

Még általánosabb sokszöglap-fogalomhoz jutunk, ha a sokszöglapot határoló (egy, vagy több) töröttvonaltól nem követeljük meg, hogy egyszerű sokszögvonal legyen, hanem megengedjük, hogy a sokszöglap határa ön-érintő, vagy önátmetsző is lehet. Azt is megengedhetjük, hogy a több határvonalú sokszöglap határvonalaik messék egymást. (Azt viszont már nem engedjük meg, hogy e határvonal(ak)nak végtelen sok közös pontja legyen.

Az önátmetsző sokszögvonallal értelmezett önátmetsző sokszöglapok esetén azonban már külön értelmezést igényel - még egyetlen zárt síkbeli töröttvonal esetében is - hogy mit értsünk a sokszögvonal által határolt síklapon. Példáinkból látható, hogy egy önérintő, vagy önátmetsző sokszögvonal egy, vagy több olyan korlátos részt - tartományt - vág ki a (nem korlátos) síkból, amely tartományok belső pontjai összeköthetők olyan töröttvonallal, amelynek nincs közös pontja a sokszögvonalunkkal. Minden így kapott síkrészhez hozzárendelhetünk egy egész számot, amelyet a síkrész körüljárási számának, vagy lefedettségi számának nevezhetünk. Ehhez adjunk a zárt sokszögnek egy körüljárási irányt (pl. azzal, hogy a csúcsait rendre felsorolva az egyik ciklust pozitívnak tekintjük.) Azt mondjuk, hogy egy tartomány körüljárási száma K, ha valamely belső pontjából a sokszögvonalon egyszer körbefutó pontot követve K -szor fordul körbe a kiválasztott (belső) megfigyelési pontból kiinduló, és a körbefutó pontot tartalmazó félegyenes. Nyilvánvaló, hogy a sík nem korlátos részének a körüljárási száma 0, az egyszerű sokszöglapé 1, vagy -1 attól függően, hogy a sokszög körüljárási iránya megegyezik-e a sík irányításával.

Nem tartozik vizsgálódásunk körébe, de megemlítjük, hogy topológiai módszerekkel igazolható: az euklídeszi sík kétféleképpen irányítható. Az már a geometria tárgyán kívüli megállapodás, hogy ezek közül melyiket tekintjük pozitívnak. Vannak nem irányítható felületek is, mint pl. a Möbius szalag.

Nézzünk erre néhány példát!

P10 (1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 )

P11 (1 - 2 - 3 - 4 - 5 )

P12 (1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 4 -7 )

P13 (1 - 2 - 3 - 4 - 6- 5 - 4 -7)

Bár a sokszögek síkgeometriai alakzatok, így egyszerűen ábrázolhatók egy papírlapon, vagy a képernyőn. Mi most mégis a térbe ágyazva jelenítjük meg alakzatainkat, előre vetítve azt, hogy a poliéderek megadásakor különböző síkokban fekvő sokszögekkel lesz dolgunk.

Érdemes megjegyezni, hogy az önátmetsző sokszögek területét úgy célszerű értelmeznünk, hogy egy-egy (egyszerű) tartomány területét megszorozzuk a hozzá tartozó lefedettségi számmal. Így megmarad a terület azon tulajdonsága, hogy ha egy sokszöglapot részekre bontunk, akkor a kapott részek területének összegeként megkapjuk az eredeti sokszöglap területét. Pl. a P11 ötszög területe az (1 - 2- 3 - 5) négyszög és a (3 - 4 -5) háromszög területének az előjeles összege, függetlenül attól, hogy pl. a 4. pont hol helyezkedik el a többihez viszonyítva., azaz konvex, konkáv, esetleg önátmetsző a sokszögvonal.

Térjünk vissza az egyszerű sokszögek vizsgálatához!

Az egyszerű sokszögvonal minden csúcsából kiindul két félegyenes, amely a vele szomszédos egyik, ill. másik csúcsot tartalmazza. Ezek két részre (szögtartományra) osztják a síkot. Ezek közül a sokszög adott csúcsához tartozó (belső) szög az a szög, amelynek az adott csúcs köré írt (a sokszög síkjában fekvő) tetszőlegesen kicsi kör lapjával alkotott közös része megegyezik e körlap és a sokszöglap közös részével. (A csúcs bármely környezetének a sokszöglaphoz, ill. a belső szögéhez tartozó része azonos.)

Bocsássa meg az olvasó, hogy ennek a már általános iskolából jól ismert fogalomnak a meghatározásával untatjuk, de ez a kissé körülményes megfogalmazás még hasznunkra lehet a térbeli analóg fogalmak kialakításánál. Érdemes végiggondolni, hogy ez a meghatározás önátmetsző sokszögekre vonatkoztatva némi finomításra szorul. Fogalmazhatnánk pl. úgy, hogy a szóban forgó szögszárak által meghatározott szögek közül az jelentse a sokszög adott csúcsához tartozó belső szöget, amelynek a csúcs körüli bármely kicsi környezetében található belső ponthoz nagyobb körüljárási szám tartozik. (Így pl. a P11 sokszög 4 -es pontjához tartozó belső szög a konkáv szögtartomány.)

Egy konvex sokszög - amely szükségképpen egyszerű - belső szögeinek a közös része (metszete) maga a sokszög.

Egy egyszerű sokszög szabályos, ha minden oldala és minden szöge egyenlő. Az így értelmezett szabályos sokszögek konvexek.

Később szükségünk lesz a szabályos sokszög fogalmának egy általánosítására. Általánosabb értelemben szabályosnak nevezünk egy sokszöget, ha oldalai és szögei egyenlők. Itt most eltekintünk az egyszerű (azaz konvex) kikötéstől, helyette megengedjük azt, hogy a sokszögvonal önátmetsző is lehet. Ha egy szabályos sokszög nem konvex, akkor szükségképpen önátmetsző. Ezeket - megkülönböztetésül - önátmetsző szabályos sokszögeknek vagy szabályos csillagsokszögeknek nevezzük. Ebben az általánosabb értelemben két szabályos ötszög, és három szabályos hétszög létezik. (Érdekes - lényegében számelméleti - kérdés annak a vizsgálata, hogy adott n értékhez hány n - oldalú szabályos sokszög tartozik.)

P14(1 - 2 - 3 - 4 - 5 ) Szabályos ötszögek

P15(1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 -7) Szabályos hétszögek

A szabályos csillagötszögnek vannak egyszeresen és kétszeresen lefedett részei, a hegyesebb szögű önátmetsző szabályos hétszögnek pedig van háromszorosan lefedett része is. Az önátmetsző szabályos sokszögek területét úgy értelmezhetjük, hogy a többszörösen lefedett részek területét megszorozzuk a terület lefedettségi számával. Ilyen értelmezés mellett pl. érvényben marad az a konvex szabályos sokszögekre érvényes képlet, miszerint a kerület felének és a beírt kör sugarának a szorzataként megkapható a sokszög területe.

Itt (is) fel szeretnénk hívni olvasóink figyelmét a szabályos ötszög aranymetszéssel kapcsolatos tulajdonságaira, melyekre később szükségünk lehet.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten