Törzsanyag
A geometriai transzformációkról
A közotatásban szereplő geometriai taranszformációk vázlatos áttekintése olvasható ezen az oldalon.
Egy érdekes geometriai transzformáció
geometriai inverzió (körre vonatkozó tükrözés)
Egy olyan geometriai transzformációval ismerkedhetünk meg ebből a cikkből, ami nem egyenestartó, ezért sok meglepő tulajdonsággal rendelkezik.
Egy visszaköszönő feladat, és az annak fejlődése
A matematikát tanuló diákok és az azt tanító tanárok sokszor találkoznak "visszaköszönő" feladatokkal. Ezek a találkozások nagyon ritkán múlnak el hasznosítható tapasztalatok nélkül.
Egybevágóságok tengelyes tükrözésekből (tengelyes tükrözések szorzása)
A tengelyes tükrözés tanítása megelőzi a többi egybevágósági transzformáció tanítását, de még a geometriai transzformáció fogalmának kialakítását is. Így a többi egybevágósági transzformáció tanításakor már vizsgálhatjuk két tengelyes tükrözés egymás utáni végrahajtását, szorzatát is.
Problémák, feladatok
- Két kör k1 és k2 kívülről érintik egymást az E pontban. A k1 kör e szelőjét érinti k2 az F pontban. A k1 e-vel párhuzamos érintője T-ben érinti k1-t. Igazoljuk, hogy T, E, F egy egyenesre esnek! (Lásd az ábrát!)
(Az ábra az Euklides programmal készült)
- Adott a k kör és annak egy AB átmérője. A k1 és k2 körök az AB által meghatározott egyik félkör belsejében helyezkednek el; a k1 a k kört P-ben, az AB-t Q-ban érinti; ugyanígy k2 a k kört S-ben , az AB-t R-ben érinti. Igazoljuk, hogy a PQRS négyszög húrnégyszög! (OKTV 2002/2003) (A megoldásnál felhasználhatjuk az előző feladatot és a geometriai inverziót.)
- Szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldal aránya és az azon felvő két szög különbsége!
- Egy hegyesszögű háromszög magasságpontját két oldalegyenesére tükrözzük. Bizonyítsuk be, hogy a két tükörképpontot összekötő egyenes által lemetszett háromszög hasonló az eredeti háromszöghöz! (Arany Dániel Matematikaverseny 1980.)
- Mi a mértani helye az ABCD négyzet belsejében azon P pontoknak, amelyekről csak annyit tudunk, hogy a PAB, PBC és PCD háromszögek között van két egybevágó? (Arany Dániel Matematikaverseny 1980.)
Tudtad-e,
- hogy van olyan, a téren értelmezett geometriai transzformáció, aminek az értékkészelete véges halmaz?
- hogy a sík minden egybevágósági transzformációja előállítható legfeljebb három tengelyes tükrözés szorzataként?
- hogy minden távolságtartó transzformáció szögtaró is?
Kisenciklopédia
- Geometriai transzformációk szorzása
- Ha f és g geometriai transzformációk olyanok, hogy az f értékkészlete egyenlő a g értelmezési tartományával, akkor a g*f olyan geometriai transzformáció értelmezési tartománya az f értelmezési tartománya, és ennek a halmaznak bármely P elemére igaz, hogy g*f(P)=g(f(P)).
- Egybevágósági (távolságtartó) transzformáció
- Olyan geometriai transzformáció, amelyre igaz, hogy bármely két - értemezési tartomány beli - pont távolsága egyenlő a két pont képének a távolságával.
- Szögtartó taranszformáció
- Egy geometriai transzformáció szögtartó, ha minden szög egyenlő a képvel.
- Fixpont
- Egy pont fixpontja egy geometriai transzformációnak, ha képe önmaga.
- Invariáns ponthalmaz
- Egy ponthalmaz invariáns ponthalmaza egy geometriai transzformációnak, ha képe önmaga.
- Szimmetrikus geometriai transzformáció
- Egy geometriai transzformáció szimmetrikus, ha az értelmezési tartománya bármely adott pontja képének a képe az adott pont.
- Mértani hely
- Korábban volt használatos ez a kifejezés az adott tulajdomságú pontok halmazára.
