Hogyan rajzolhatunk ellipszist?
2014/01/09 08:00
10251 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.

Ha azt halljuk, hogy ellipszis, akkor biztosan a Föld Nap körüli pályája jut eszünkbe a szóról. Esetleg az elliptikus tréner ugrik be. Az, hogy ez egy matematikai objektum, egy másodrendű görbe csak kevesek számára mond valamit.

A geometria két fontos objektuma az egyenes, és a kör. Az egyenest vonalzóval rajzoljuk meg, a kört körzővel. Ez a két görbe a matematika alapvető görbéi: az egyik a "legegyenesebb", ami csak létezhet, a másik a "legkerekebb": a legtökéletesebben kerek, mivel a görbülete mindenütt ugyanakkora.

Az euklideszi geometria

Az egyenes és a kör nagyon egyedi tulajdonságokkal rendelkező matematikai objektumok, ezt a különlegességet már az ókori görögök is érezték, amikor megfogalmazták azt a követelményt, hogy a geometriai szerkesztéseket csak ezekkel, tehát körzővel és vonalzóval elvégezni. Ez a korlátozás jó néhány előre nem sejtett eredményhez vezetett a geometriai alakzatok elméletében.

Euklidesz görög matematikus az Elemek című munkájában fogalmazta meg azokat az eljárásokat, amelyeket a geometriai szerkesztések során lehet használni. A szerkesztésekhez egyélű vonalzó és körző használható.

A következő műveletek végezhetőek el:

  • két adott ponton keresztül egyenes húzható
  • két pont távolsága körzőnyílásba vehető
  • adott pont körül, adott sugárral kör rajzolható
  • kijelölhető két egyenes metszéspontja
  • kijelölhető kör és egyenes metszéspontja
  • kijelölhető két kör metszéspontja

A másik híres ókori görög matematikus Apollóniosz is kikötötte, hogy a szerkesztési feladatok során csak körző és vonalzó használható.

Basic_Geometric_Constructions

Euklideszi műveletek véges sokszori alkalmazásával nem szerkeszthető az ellipszis, a parabola, illetve a hiperbola. Ezen síkgörbék véges számú pontja megszerkeszthető, de maguk a görbék nem. Hasonlóan nem végezhető el euklideszi módon például a szögharmadolás vagy a π hosszúságú szakasz szerkesztése sem.

A görbület

Ha a kerékpár kormányát elfordítjuk, és ebben a helyzetben változatlanul tartjuk, akkor kört írunk le. Másrészt azonban ez a két különböző vonal, az egyenes, és a kör, nagyon közel áll egymáshoz, mivel mindkettő állandó görbületű görbe. Ez közérthetően úgy is mondhatnánk, hogy amelyeket rögzített kormánnyal bejárhatunk.

egy_kor_bicikli

Az egyenesnél ez a görbület nulla, mivel végtelen sugarú körnek is tekinthető. A többi görbének változó a görbülete, pl. az ellipszisnek.

A kör mostohatestvére

Az ellipszissel is gyakran találkozhatunk, például a ferdén szeletelt kolbásznál, vagy egy kerék árnyékánál, vagy egy autó lámpájának fénysávjánál. Más alkalommal is keresztezheti utunkat egy ellipszis, csak legtöbbször észre sem vesszük. A lámpa kör keresztmetszetű, de valóban mindig körnek látjuk? Nem, majdnem mindig ellipszisnek látjuk, mivel azonban tudjuk, hogy a valóságban kör, azt gondoljuk, hogy tényleg körnek látjuk. Tudásunk mindig befolyásolja látásunkat, és a ferdén nézett kerék nemcsak a gyerekek és a régi egyiptomiak rajzain kör alakú. A kör képe legtöbbször ellipszis, és csak merőlegesen nézve látni valódi alakját.

Hogyan rajzoljunk ellipszist?

Az ellipszis definíciója a következő:
Az ellipszis azon pontok mértani helye egy síkon, amelyek a sík két adott pontjától, az F1 és F2 fókuszpontoktól való távolságaik összege állandó. Ez a távolság nagyobb kell legyen, mint a két fókuszpont távolsága. A két pontot fókuszpontnak, vagy gyújtópontnak hívják.

EllPinStr

Az ellipszist a fenti definíció alapján könnyen megrajzolható két rajzszög, egy zsinór és egy ceruza segítségével. A rajzszögeket leszúrjuk a fókuszpontokba, a zsinórt lazán a rajzszögekhez csomózzuk. A ceruza hegyével megfeszítjük a zsinórt és úgy rajzolunk vele, hogy a háromszöget alkotó zsinór mindig feszes maradjon. Ekkor a két fókuszponttól húzható sugár összege (a zsinór hossza) állandó marad, így a rajzolt görbe valóban ellipszis lesz.

További érdekes oldalak: 

Zsigó Zsolt cikke

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten