Jakab Tamás: Rajzos egyenlőtlenségek
Tarcsay Tamás
2003/01/16 08:11
1058 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
E cikk szerzője a bonyhádi Petőfi Sándor Evangélikus Gimnázium 2002-ben Ericsson díjjal elismert matematikatanára. Olyan bizonyításokat mutat be, amelyek egy jól megválasztott ábrával mindenki számára könnyen érthetővé tehetők.

Martin Gardner, a matematika népszerűsítésének egyik legnagyobb alakja írja: "Nincsen hatásosabb módszer bizonyos algebrai azonosságok megértéséhez, mint egy jó ábra. Persze tudnunk kell, hogyan bizonyíthatjuk be algebrai úton őket, de sok esetben egy unalmas bizonyítást kiegészíthetünk egy egyszerű, de nagyszerű geometriai analógiával, amely pillanatok alatt megvilágíthatja a tétel lényegét."
Ilyen jó ábrákkal minden bizonnyal sokan találkoztak, például az a(b+c) = ab +ac azonosságot pozitív számokra jól illusztrálja a következő:
Ehhez nem is szükségeltetik különösebb magyarázat: a téglalapok területéből minden kiderül.
Kevésbé valószínű azonban, hogy ilyesféle ábrák jelennének meg a lelki szemeink előtt, ha egy azonos egyenlőtlenséget hallunk. A továbbiakban három (igazából kettő) közismert egyenlőtlenség rajzos bizonyítását mutatom be. Az algebrai bizonyítások elég közismertek, éppen ezért nem fogok hivatkozni rájuk. Az utolsónál egyébként arra is példát láthatunk, hogy egy rajz hogyan adhat ötletet további algebrai vizsgálódásokra.

Elsőnek tekintsük a számtani és mértani közép közti összefüggést két számra! Ezzel elvben minden középiskolás találkozik. Az összefüggés szerint bármely és pozitív számok esetén teljesül az egyenlőtlenség. Ha olyan ábrát szeretnénk készíteni, amely ezt igazolja (vagy legalábbis illusztrálja), és feltesszük, hogy a legegyszerűbb továbbra is téglalapok területével dolgozni, akkor mindjárt barátságos lépésnek tűnik az, hogy vezessük be az jelölésekett. Ezt megtehetjük, hiszen x és y pozitívak, ha pedig egyenlőtlenségünket tekintjük, örömmel láthatjuk, hogy kiküszöböltük a kissé zavaró négyzetgyököt, az ugyanis az avagy az alakot ölti. Ráadásul most három téglalap (pontosabban két négyzet és egy téglalap) területét is felfedezhetjük, ami ötletet ad az ábránkhoz: ezek szerint egy a és egy b oldalú négyzetről kell belátni, hogy nagyobb az együttes területük, mint két, a ill. b oldalú téglalapnak.
Legegyszerűbb olyan ábrát keresni, amelyen a két négyzet tartalmazza a két téglalapot. Vagyis vegyünk fel egy a és egy b oldalú négyzetet, mondjuk egymás mellé, és próbáljuk meg elhelyezni bennük valahogy a két téglalapot. Némi kísérletezés után ráakadhatunk az alábbi konstrukcióra.
Ezzel gyakorlatilag meg is találtuk a bizonyítást. Ráadásul még az is kiderül, hogy akkor és csak akkor lehet egyenlő a két oldal, ha a kimaradó darab területe 0, azaz, ha a - b =0 , vagyis a = b , ez pedig - mivel mindkettő pozitív volt - x = y-nal ekvivalens.
Egy picit nehezebben igazolható algebrai eszközökkel, és egy fokkal kevésbé ismert a következő (2) egyenlőtlenség: tetszőleges a, b és c valós számok esetén. Itt a rajzos bizonyítás némi kiegészítésre szorul, hiszen negatív oldalú téglalapokkal ritkán találkozunk, de azért érdemes megnézni. Most nyilván három négyzetbe kell ügyesen elhelyezni három téglalapot. Ezt a következő módon tehetjük meg például (a jobb átláthatóság kedvéért az első ábrán csak a négyzetek szerepelnek). Az egyenlőség feltétele itt is szépen következik a rajzból (a = b = c). Természetesen a rajz csak pozitív a, b és c esetén bizonyító erejű. Azonban egyetlen apró gondolat elegendő a bizonyításhoz: ha bármelyikük előjelét negatívra változtatom (akár többet is), a bal oldal változatlan marad a négyzetek miatt, míg a jobb oldal értéke nem növekedhet, hiszen a szorzatok legfeljebb ott is előjelet válthatnak.

Felmerülhet a kérdés: általánosítható-e valamilyen módon a fenti összefüggés? Mondjuk hogy nézne ki (létezik-e) ez az egyenlőtlenség, ha a bal oldalra négyzetek helyett köböket írok? Természetes ötletnek tűnik, hogy négyzetek helyett kockákkal dolgozzunk. Ennek végiggondolását az Olvasóra bízom, helyette most egy másik ötlettel próbálkozunk, amikor is az előbbiekben igazolt összefüggést használjuk fel közvetlenül a bizonyításhoz.

Tekintsünk két téglalapot, amelyeknek egyik oldala egyenlő, nevezetesen a + b + c, azonban míg az egyik téglalapnál a másik oldal
, a másiknál ab + bc + ca. Az előbbiek alapján máris láthatjuk, hogy az első téglalap területe nem lehet kisebb a másodikénál. Az ábrán látható módon bontsuk fel a téglalapokat kisebb téglalapokra, ezekbe pedig egyenként írjuk bele a területüket. Ekkor az összterületek összevetéséből a következő adódik: Az azonos tagokat mindkét oldalból kivonva az egyenlőtlenséghez jutunk.
Ha ezt alaposabban megszemléljük, örömmel állapíthatjuk meg, hogy sikerült három számra is igazolnunk a számtani és mértani közép közti összefüggést, hiszen
jelölésekkel az (3) egyenlőtlenség adódik.
Egyenlőség pontosan akkor állhat, mikor a (2) egyenlőtlenségnél: ha x = y = z.

Itt még - meglepő módon - további ötletet is kaphatunk az ábrából arra vonatkozóan, milyen feltételek mellett teljesül (3) negatív számokra is (valami ilyesmit joggal várhatunk el, hiszen köbgyöke negatív számoknak is van). A téglalapok területének különbsége (most kis téglalapokra bontás nélkül felírva)
amiről tudjuk, hogy nemnegatív. Emeljünk ki (a + b + c)-t: Itt azonban a második tényező (2) miatt nemnegatív, vagyis ez pontosan akkor teljesül, ha ,azaz sikerült jelentősen enyhítenünk a számtani és mértani közép közti összefüggés feltételein három tagra.

Hogyan használható ez a cikk az oktatásban?

(A szerkesztő megjegyzései)

1. A fogalmak, így a matematikai fogalmak is akkor mélyülnek el igazán, ha minél több irányú kapcsolatokkal megerősítik őket. Ebből következik, hogy ha algebrai összefüggéseket geometriai útun is bizonyítunk, akkor nagyobb remény van a bevésődéseikre. A témát tanító tanárok válszthatnak a cikkben szereplő bizonyítások közül.

2. A felzárkóztató munkát végző pedagógusok tapasztalhatják, hogy a gyerekek egy része nehezen fogadja be az algebrai fogalmakat, de a vizuális felfogóképességük jó. Az ő tanulásuk segítésére is alkalmasak lehetnek az ebben az írásban szereplő módszerek.

3. A tehetséggondozás igénye megköveteli, hogy amíg az átlagos képességű tanulókkal foglalkozik a tanár, a jobb képességekkel rendelkezők külön dolgozzanak.
Ennek a differenciált foglalkoztatásnak egyik eszköze lehet az, hogy a gyerekek elolvassák ezt a cikket, megértik, majd kiselőadások keretében dolgozzák fel a tartalmát.

4. A matematika iránt érdeklődő diákjaink feladatul kaphatják, hogy további algebrai összefüggésekhez keressenek geometriai bizonyításokat. Ha ilyeneket találnnak, akkor küldjék el a rovatunk címére is.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten