Játékok és valószínűség
Tarcsay Tamás
2003/08/11 10:16
2132 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Tapasztalataink szerint a valószínűségszámítással először a felsőoktatásban találkozó hallgatók többsége - a szükséges szemlélet hiányában - csak nagy nehézségek árán tudja elsajátítani az előírt tananyagot. A megfelelő szemlélet kialakítását segítheti játékgyűjteményünk.

Ennek oka az is lehet, hogy ez a matematikai tudományág a többitől eltérő szemléletmódot igényel. Elég, ha csak arra gondolunk, hogy ebben a témakörben csak ritkán állítunk valamit teljes bizonyossággal, megadjuk azt, hogy állításainkat milyen valószínűséggel tartjuk igaznak.

Elképzeléseink szerint, a valószínűségszámításhoz szükséges szemlélet fokozatos kialakulását eredményezheti, ha az általános és középiskolás tanítványainkkal ezt segítő játékokat játszatunk.

Ebben a dolgozatban ilyen játékokat gyűjtöttünk össze. Foglalkozunk ezeknek a matematikájával is. Nem gondoljuk, hogy a bemutatott játékokat a valószínűségszámítás segítségével vizsgálni kellene a matematikaórákon. Olyan esetekben, amikor "komoly" matematikával nem szeretnénk foglalkozni (első óra, utolsó óra, 100. óra, . . . ,stb), ezekkel szórakoztathatjuk a diákjainkat. Ha elég sokat játszanak, tapasztalatokat szerezhetnek, és ezen keresztül (ki)alakulhat a szemléletük.

1. Háromkorongos játék

Egy urnába elhelyezünk három korongot, az egyiknek mindkét oldala piros, a másiknak mindkét oldala kék, a harmadiknak egyik oldala piros, a másik oldala kék. Az urnából - keverés után - kihúzunk egy korongot, és az asztalra tesszük. A játékosnak - aki látja a lerakott korong felül levő oldalát - azt kell megtippelnie, hogy milyen a lerakott korong másik oldala.

Első látásra ez a játék olyannak tűnik, hogy egyenlő esélye van a nyerésre annak, aki pirosat vagy kéket mond. Ez azonban nincs így.

Tételezzük fel, hogy egyenlő valószínűséggel választjuk mindegyik korongot, és a választott korong két oldala egyenlő valószínűséggel kerülhet felülre. Ekkor a játékhoz tartozó klasszikus valószínűségi mezőre vonatkozó összefüggések alapján az alábbi valószínűségeket kapjuk:

P(fenn piros - alul piros) = 2/6 =1/3

P(fenn piros - alul kék) = 1/6

P(fenn kék - alul piros) = 1/6

P(fenn kék - alul kék) = 2/6 =1/3

Látható ebből, hogy ha a játékos már tudja, hogy milyen színű oldal van fölül, akkor kétszer akkora valószínűséggel nyer, ha azonos színt mond, mint a másik szín mondása estében.
Ha elég sokszor játszatjuk ezt a játékot, és statisztikát készítünk az eredményekről, akkor a kapott - meglepőnek mondható - tapasztalatok jó irányba befolyásolhatják a véletlenre vonatkozó szemléletet.

A "játszott" játékok száma megsokszorozható számítógépes szimulációval. Az alábbi ábrán egy ilyen modell futási eredménye látható. Megadtuk az egyes események bekövetkezésének gyakoriságát és relatív gyakoriságát.

2. TARPIR játék

Egy magyarkártya csomagot jól megkeverünk, majd néhány lapot hátlapjával felfelé lerakunk az asztalra. Ezután további néhány lapot megmutatunk a játékosnak, akinek meg kell tippelni, hogy hány piros van a lefordított lapok között.

Ha ezt a játékot sokszor eljátszatjuk a tanítványainkkal, általában elkezdenek arról gondolkodni, hogy mi módon lehet nagyobb esélyt teremteni a nyerésre. Megérzéseik alakulnak ki arra vonatkozóan, hogy a látott lapok között található pirosak számától milyen módon függhet a leborított lapok között levő pirosak száma.

Ezt megragadva eljuthatunk a feltételes valószínűség fogalmához, kiszámítási módjához, amit szintén feladatok megoldása során mélyíthetünk el.

Megjegyezzük, hogy a TARPIR akkor tanulságos, ha legalább öt-öt lappal játsszuk.

3. Dobjuk a pénzt!

Két játékos felváltva dob fel egy pénzdarabot. Az nyer, aki az n. fejet dobja. (Az n pozitív egész számot jelöl.)
Legyen An az az esemény, hogy a kezdő játékos nyer!

Vizsgáljuk meg először az n = 1 esetet!

Tételezzük fel, hogy egy dobásnál a fej és írás dobásának valószínűsége: 1/2 . Ekkor annak valószínűsége, hogy a játék a k. dobás után ér véget, 1/2-nek a k. hatványa. Tekintettel arra, hogy a kezdő akkor és csak akkor nyerhet, ha páratlanodik dobásra lesz az első fej,
Ebben a számolásban felhasználtuk a végtelen mértani sorra vonatkozó ismereteket. Enélkül is meg lehetne határozni ezt a valószínűséget?

  • Ha a kezdő első dobásra fejet dob, nyer, ennek valószínűsége: 1/2.
  • Ha a kezdő első dobásra írást dob, akkor a második játékos nyerhet P(A1) valószínűséggel, így a kezdő nyerésének valószínűsége:1- P(A1). Ez ugyancsak 1/2 valószínűséggel következik be.

Ebből kapjuk a következő egyenletet:

Ezt megoldva kapjuk, hogy 2/3.

Ha elég sokat játsszák tanítványaink ezt a játékot, meg is sejtik ezt az eredményt, és azzal magyarázzák, hogy azért nagyobb a kezdő nyerésének a valószínűsége, mert ő "előbb kap lehetőséget a fej dobására".

Vizsgáljuk most n>1 esetre a játékot!

A előző gondolatmenetet alkalmazva:

  • Ha a kezdő első dobásra fejet dob, akkor n-1 fejet kell még dobni. Innen P(A(n-1)) valószínűséggel nyerhet a második játékos, így 1-P(A(n-1)) valószínűsége a kezdő nyerésének. Ennek valószínűsége: 1/2 .
  • Ha a kezdő első dobásra írást dob, akkor a második játékos nyerhet P(An) valószínűséggel, azaz a kezdő nyerésének valószínűsége:1- P(An). Ez ugyancsak valószínűséggel 1/2 következik be.

Ebből a következő egyenletet nyerjük:
Innen a következő rekurzív formula adódik:
Érdemes megadni néhány adott konkrét n-re a fenti valószínűséget, és így megsejthető a következő - teljes indukcióval bizonyítható - összefüggés:
Ez azt jelenti, hogy páratlan n-ekre a kezdő játékosnak, páros n-ek esetén a második játékosnak nagyobb a nyerési valószínűsége. Az is látszik, hogy minél nagyobb az n, a játékosok nyerési valószínűsége annál közelebb kerül az 1/2-hez.

4. Megint dobjuk a pénzt!

Ismét két küzdő fél van. Felváltva dobnak fel egy pénzdarabot, és az nyer, aki először dob írás után fejet.

Legyen A esemény az, hogy kezdő játékos nyer.

Tekintsük azt az esetet, amikor a k. dobásra ér véget a játék. Nyilvánvaló, hogy k>1. A kedvező dobássorozat if dobás-párral végződik. Előttük csak olyan dobássorozat lehet, amelyben nem fordul elő i után f. (i = írás, f = fej) Ebből következően a kedvező dobássorozatok:

iii. . . iiif
fii. . . iiif
ffi. . .iiif
.
.
.
fff. . . fiif
fff. . . ffif

Látható, hogy összesen k - 1 kedvező dobássorozat van, mindegyik valószínűsége: 1/2 k.hatványa, így annak valószínűsége, hogy a játék a k. dobáskor ér véget, ennek (k-1)szerese.

Tekintettel arra, hogy a kezdő játékos csak a páratlanodik dobások után nyerhet,

(E valószínűség kiszámolásakor is felhasználtuk egy sor összegét.)

Ebben az esetben is megsejthető, hogy a második játékosnak van nagyobb esélye a nyerésre, hiszen most ő kerül előbb "nyerő helyzet"-be.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten