Komplex számokkal (is) megoldható geometria feladatok II.
Tarcsay Tamás
2004/07/14 08:51
1330 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Egy korábbi cikkünkben olyan feladatokat adtunk közre, amelyek a valós számok halmazának bővítéseként kapott komplex számokkal is megoladhatók. Most folytatjuk a sort.

4. feladat

Az ABC háromszög oldalaira kifelé írt négyzetek ACPQ és BARS. Mutassuk meg, hogy ha a B és C pontok rögzítettek, az A pedig mozog a BC egyenes által meghatározott egyik félsíkon, akkor a különböző A pontokhoz tartozó PS egyenesek mindegyike átmegy egy rögzített ponton. (KöMaL Gy. 2556.)

4. ábra Legyen a BC szakasz felezőpontja F, ehhez rendeljük az f = 0 komplex számot. Legyen c = 1 és b = -1, az A ponthoz pedig rendeljük az a komplex számot. Ekkor
Tekintettel arra, hogy az origó körüli 90 fokos elforgatásnak az i komplex szám felel meg, kapjuk, hogy
Ebből következően
Ha M a PS szakasz felezéspontja, akkor a neki megfeleltetett komplex szám:
Kaptuk, hogy az M pont helye független az A pont helyétől, így az állításunkat bebizonyítottuk.

5. feladat

Az ABC háromszög BC és AC oldalaihoz tartozó magasságainak a háromszög köré írt körrel való második metszéspontjuk E és D. Igazoljuk, hogy a C-ből az ED egyenesre bocsátott merőleges átmegy a köré írt kör középpontján!
5. ábra Legyen CR az ED húrra merőleges, C-n átmenő húr. Feleltessük meg a kör középpontjának a 0 komplex számot, míg a többi pontnak megfeleltetett komplex számot jelöljük a megfelelő kisbetűvel.
A merőlegesség következtében igaz, hogy be = -ac , ad = -bc és ed = -cr (lásd [1]).
Ezekből az egyenletekből kapjuk, hogy a r = -c, ami bizonyítja az állítást.

6. feladat

Az A, B és C egy egyenes három különböző pontja úgy, hogy B elválasztja A-t C-től. Legyenek ABD és BCE szabályos háromszögek az egyenes ugyanazon oldalán. Jelölje F az AE és G a DC szakaszok felezéspontját. Milyen háromszög a BGF háromszög?
6. ábra Legyenek az egyes pontoknak megfelelő kisbetűkkel jelölt komplex számok b = 0, c és d. Ha az origó középpontú 60 fokos elforgatásnak megfelelő komplex szám q [1] akkor e = qc és a = qb. Ekkor igaz, hogy
Ebből következően F a G-nek az origó középpontú 60 fokos elforgatottja, így kaptuk, hogy a BGF háromszög szabályos.

Megjegyezzük, hogy ennél a gondolatmenetnél nem használtuk ki, hogy az A, B és C pontok kollineárisak, így az állítás általánosabb esetben is igaz.

7. feladat

Egy 60 fokos szög egyik szárán elhelyezkedő A és A1 pontnak a szög csúcsától való távolsága p és 2q. A másik száron elhelyezkedő B és B1 pontoknak a szög csúcsától való távolsága q és 2p. Az A1 B1 szakasz felezéspontja C. Milyen háromszög az ABC háromszög? Ennek a feladatnak megoldását az olvasóra bízzuk. Ha a korábbi feladatok megoldását megértettük, akkor nem fog problémát jelenteni.

Irodalom

  • Reiman István: Fejezetek az elemi geometriából. Tankönyvkiadó, Budapest, 1987 [1]

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten