Mit jelent az összehasonlító geometria tanítása?
Az általános iskola alsó osztályaitól kezdve egyszerre tanítunk síkgeometriát és gömbi geometriát, manipulatív eszközök, később számítógép felhasználásával. Hetedik-nyolcadiktól elkalandozunk a Bolyai-geometria világába is.
Ki vagy, aki a cikket írod, és jótanácsokat osztogatsz?
Imádok tanítani: húsz éve alkalmilag, tizenkét éve pedig rendszeresen tanítok. Most mégsem gyakorló tanárként szólok. Évtizedekbe telt, míg rájöttem, hogy valójában milyen szerepet kívánok vállalni. Tehát: edukátor, tanár- és diák-tanító, tanítási ötletadó vagyok. Olyan módszerek, eljárások, eszközök kigondolásával és kipróbálásával foglalkozom, amelyek élvezetesebbé, színesebbé, hasznosabbá teszik az oktatást valamennyi résztvevő számára.
Kérdések, amikre nem tudok válaszolni:
A tananyag sok, a matematika-óraszám egyre kevesebb - hová zsúfoljunk új ötleteket? Az iskolának nincs pénze - miből vegyünk új eszközöket? Tanítás, család, házimunka, különórák - mikor ismerkedjünk új gondolatokkal?
Szubjektív vélemény a matematikaoktatás helyzetéről
Az elmúlt, számomra csodálatos 2002-es évben bejártam az országot Nagyatádtól Sátoraljaújhelyig, Győrtől Makóig. Sok pedagógussal beszéltem, és többezer (nem túlzás!) hallgató számára tartottam matematika-előadásokat kiállításon és iskolákban. Mindenütt jóindulattal, tetszésnyilvánítással találkoztam: laikusoknál és szakmabelieknél, fiataloknál és idősebbeknél egyaránt.
Mindezek ellenére élményeim megerősítettek bennem egy, már régebben felmerült gondolatot.
A matematikatanítás itthon is, külföldön is útkereső, válságos időszakát éli, amelynek legkézzelfoghatóbb jele a közhangulat. Kérdezzük meg azt a tíz embert, akivel legközelebb találkozunk: mi a véleménye a matematikáról? Földrajzról? Irodalomról? Autósiskoláról? Értékeljük az eredményeket! Hány szavazatot kaptunk az egyes tárgyaknál: 'Igen, ezt hasznosnak tartom.' 'Igen, ez érdekes és szép volt.' 'Gyönyörű dolog, de számomra sajnos felfoghatatlan.' 'Utálom.'
Akit ez a közvélemény-kutatás nem győzött meg, tanulmányozza a felsőoktatás egyes területeire jelentkezők számát, húsz évre visszamenőleg, napjainkig! Vaknak és süketnek kell lennünk ahhoz, hogy a matematika presztizsvesztését észre ne vegyük.
Ez a folyamat nem a felsőoktatásban kezdődik. Évtizede még ritkaság volt, ma pedig egyre gyakrabban hallható a kérdés: "Tanárnő/tanár úr, miért van nekem szükségem arra, hogy ismerjem a logaritmust vagy a szögfüggvényeket?" És - kérem, ne vegyék rossz néven - sok kolleginánál-kollégánál érzem, hogy maga sem biztos a válaszban! Csakugyan: miben segítenek a matematikai fogalmak a mindennapi döntéshelyzetekben, a magánemberi és állampolgári problémákban, a ránk zúduló információtömeg értékelésében? Nem pusztán valamilyen túlhangsúlyozott játék, túl komolyan vett logikai fejtörő az egész? Voltaképpen mit akarunk elmondani tanítványainknak a matematika segítségével?
Az üzenet
Számomra a matematika az alapok szabad megválasztásáról, az egymást tisztelő partnerek véleménycseréjéről, az önálló gondolkozásról szól.
Az egyrendszerű, csalhatatlan matematikát, korszerűtlennek, halottnak, taníthatatlannak tartom. Az egyrendszerű matematika éles ellentétben áll mindazzal, amit a mai fiatal az élet legtöbb területén: politikában, gazdaságban, munkahelyválasztásban, magánéletben tapasztal. Az élő, korszerű matematikaoktatás legfontosabb feladata, hogy önálló gondolkozásra, a döntéshelyzetek megismerésére és megoldására nevelje a fiatalokat.
Ennek megfelelően, a matematika bármely területén többféle lehetséges rendszert és módszert kell bemutatnunk, diákjainkra hagyva a választás jogát és kötelességét.
Az összehasonlító geometria ezt a többszempontú megközelítést kívánja a matematikában megvalósítani.
Miről szól ez a cikksorozat?
Az alapok kidolgozása, a megfelelő taneszközök és tankönyvek megjelenése már megtörtént. A magyar nyelvű irodalomból Hajós György klasszikus műve sok hasznos gömbi információt is tartalmaz. Kálmán Attila "Nem euklideszi geometriák elemei" című tankönyve a síkgeometria, a gömbi geometria és a Bolyai-geometria rendszeres, összehasonlító kifejtését adja. Kérem, ne vegyék szerénytelenségnek, ha egyebek között az általam kidolgozott rajzgömb-készletet, tankönyvet és tanártovábbképzési tanfolyamot is megemlítem.
Ebben a cikksorozatban olyan, részletesen kidolgozott példákkal foglalkozom, amelyeket a gyakorló tanár könnyen érthetőnek, tanítványai számára hasznosnak, meglepőnek, szórakoztatónak érezhet. Szeretném bemutatni, hogy a matematikai és pedagógiai elméletek kidolgozásán túl már összegyűltek olyan - ha szabad így mondanom, apróbb - feladatok, amelyekkel mindezeket a célkitűzéseket az iskolai munkában megvalósíthatjuk
A sík és a gömb mellett miért nem foglalkozunk mindjárt a Bolyai-geometriával is?
Azért nem, mert véleményem szerint az első és legfontosabb lépés a sík és gömb összehasonlítása. Ha a merev, egyrendszerű szemléletmódot feloldottuk tanítványainkban, már jóval könnyebben ismerkedhetnek új, más világokkal. Ehhez járul, hogy a síkfelület, illetve a gömbfelület geometriája még a Bolyai-geometria legegyszerűbb modelljeinél is szemléletesebb. Hangsúlyozni szeretném azonban, hogy a sík-gömb-félgömb utat, mint a Bolyai-geometriáig vezető módszert még tizenévesek számára is felfogható és megszerethető útnak találtam.
Támpontok a példákhoz
Ha az alapfogalmak részletes kifejtésével kezdeném - ahogyan ezt a fent felsorolt könyvek teszik -, akkor bőven kimeríteném a cikksorozat szabta kereteket. Ehelyett utalásszerűen felsorolom a gömbi geometria néhány olyan jellegzetességét, amelyeket a síkgeometriához szokott szemléletmód meglepőnek találhat.
- Minden gömbi pontnak van átellenes, tőle legmesszebb fekvő pontja (Északi sark - Déli sark)
- A gömbi egyenes: a gömbi főkör (Egyenlítő, hosszúsági körök igen - Egyenlítőn kívüli szélességi körök nem!)
- Két gömbi pont gömbi távolsága: az őket összekötő rövidebb főkörív hossza; átellenes pontoknál pedig akármelyik félfőkörív hossza, vagyis 180°.
- Minden gömbi ponthoz hozzárendelhetünk egy főkört (Egyenlítő); minden főkörhöz hozzárendelhetünk két gömbi pontot (sarkpontok). A kapcsolat neve: polaritás vagy dualitás.
- Két főkörív hajlásszögét gömbi főkörvonalzóval is mérhetjük, a szög csúcsához tartozó egyenlítő mentén (ahogyan két hosszúsági kör hajlásszögét lemérhetjük az Egyenlítő mentén). Ez annyit tesz, hogy gömbön értelmezhető a következő kifejezés: "a háromszög egyik oldalának és a vele szemben fekvő szögnek az összege".
- "Gömbháromszög oldalai" alatt a csúcspontokat összekötő rövidebb főköríveket, vagyis a távolságvonalakat értjük (Euler-féle háromszögek).
- Az Euler-háromszögekre, ugyanúgy, mint a síkon, igaz a háromszög-egyenlőtlenség; és igaz az is, hogy egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek, nagyobb oldalakkal szemben nagyobb szögek fekszenek.
- A háromszögek szögösszege 180°-tól 540°-ig változhat. A szögösszeg pontosan 180°, ha a három csúcspont közül valamelyik a másik kettő által meghatározott rövidebb főkörívre esik; és pontosan 540°, ha akármelyik csúcs a másik kettő által meghatározott hosszabbik főkörívre esik. Vagyis: mindkét szélső esetben a három csúcs egyetlen főkörön helyezkedik el, de 180°-nál a háromszög csak egy főkörívet jelent, 540°-nál pedig egyteljes főkört! 180°-nál a háromszög szögei: 0°, 180°, 0; 540°-nál a háromszög szögei: 180°, 180°, 180°.
- Vannak egyszer derékszögű, kétszer derékszögű és háromszor derékszögű gömbháromszögek. A háromszor derékszögű háromszög neve: oktáns.
- A háromszög-kongruenciák közül: az oldal-oldal-oldal, a szög-oldal-szög és az oldal-szög-oldal ugyanúgy érvényes, mint a síkon. A szög-szög-oldal a gömbön - ellentétben a síkkal - általában nem érvényes!
- A szög-szög-szög eset - a síkkal éles ellentétben - elég a kongruenciához! A gömbön két háromszög csakis akkor hasonló, ha egybevágóak is. Gondoljunk például a szabályos gömbháromszögekre: az egészen pici, ponttá fajuló háromszög 60°-os szögétől a teljes főkörré kikerekedő elfajult háromszög 180°os szögéig változik. Különböző, de hasonló háromszögek nincsenek közöttük!
- Minden gömbháromszöghöz tartozik egypolárgömbháromszög, amelynek csúcspontjai az eredeti háromszög sarkpontjai. Egy háromszög akármelyik szöge a polárháromszögnek a szöggel szembeni oldalát 180°-ra egészíti ki; egy háromszög akármelyik oldala a polárháromszögnek az oldallal szembeni szögét 180°-ra egészíti ki. Ebből következik, hogy, ha egy háromszög szögei, a, b, c adottak, akkor a háromszöget a következőképpen szerkeszthetjük meg: vesszük a 180-a, 180-b, 180-c oldalakat, ezekből megszerkeszthejük a polárháromszöget, a polárháromszögből pedig a keresett, eredeti háromszöget: ennek a szögei lesznek a, b, c.
Ennyi! Ha még valamire szükség lenne, idejében szólok. Most pedig lássunk egy példát.
Egy példa
Melyek azok a háromszögek síkon és gömbön, amelyeknek van legalább egy olyan szögfelezőjük, amelyik a szemközti oldalt az oldal felezőpontjában találja el?
Síkon az első ötlet: a szabályos háromszögek, ahol mind a három szögfelező eleget tesz a feltételnek. Sokan felismerik, hogy ugyanez érvényes szabályos gömbi háromszögekre is.
Következő lépés: síkon az egyenlőszárú háromszögek is jók, mert szimmetriatengelyük merőlegesen felezi az alapot. Ugyanez érvényes a gömbön is.
Van-e más megoldás is? Időbe telik, míg rájönnek a következőre: Ha a síkon a szögfelező tetszőleges pontjában merőlegest állítunk, akkor ez biztosan megadja az egyenlőszárú háromszög alapját, tehát a feladat egy alkalmas megoldását. Ha a feladatnak van más megoldása is, ez annyit jelent, hogy ugyanezen a ponton át még egy egyenes húzható, amelynek a két szögszár közé eső szakaszát a szögfelező szintén a középpontjában találja el.
Ha rajzot készítünk, látjuk, hogy a közös metszéspont két oldalán két háromszög keletkezik, amelyeknek az oldal-szög-oldal eset értelmében egybevágóaknak kell lenniük. Ebből viszont következik, hogy az egyenlő szárú háromszög alapján keletkező két egyenlő szög egyúttal kiegészítő szög is - ami csakis derékszögeket jelenthet. Ebben az esetben az egyenlő szárú háromszög két szára párhuzamos - ami a síkon lehetetlen. Itt tehát csakis az egyenlő szárú háromszögek jelentik a megoldást.
És gömbön?
A síkon követett gondolatmenet majdnem teljes egészében érvényes a gömbön is, éppen ezért a síkhoz kötött szemléletmód erősen sugallja a hamis következtetést: itt sincs több megoldás! Ha azonban egy gömbkétszöget tekintünk, és megszerkesztjük a szögfelezőjét, láthatjuk, hogy a gömbkétszögnek van egy kitüntetett pontja: a szimmetriaközéppont. Ezen a ponton átmenő bármelyik főkör két, egymással tükrösen egybevágó gömbháromszögre bontja a gömbkétszöget. Mindegyik ilyen háromszög eleget tesz a feltételeknek - a gömbön tehát végtelen sok olyan megoldás is létezik, amelyeknél nem egyenlő szárú háromszögek szerepelnek!
