Lénárt István: JÓ SZÓ, SEGÍTŐ SZÁNDÉK
Tarcsay Tamás
2003/04/14 13:29
1748 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
ÖTLETEK, ÉRVEK
AZ ÖSSZEHASONLÍTÓ GEOMETRIA TANÍTÁSÁHOZ 4.


THALESZ ÉS VIDÉKE

Folytatódik a gömbi geomatria alapjait tárgyaló cikksorozatunk.

Kérem, aki az alábbi cikket olvassa,

fussa át az első részt, http://www.sulinet.hu/tart/cikk/am/0/11636/1 cím alatt! Ott egyrészt összefoglaltam az összehasonlító geometria módszerének lényegét és célkitűzéseit, másrészt leírtam néhány támpontot a példákhoz. Ezek a támpontok a sík és a gömb geometriája közti néhány különbséggel kapcsolatosak, amelyeket alább használni is fogunk.

A második és harmadik rész a sokszögek szögösszegével kapcsolatos példákkal foglalkozik.

Célom, hogy a sík és gömb összehasonlító geometriájában olyan témaköröket mutassak be, amelyek síkgeometriai feldolgozása jól ismert, de a gömbi feladat meglepetésekkel szolgálhat.Ez az anyag elegendő ahhoz, hogy vállalkozó szellemű tanár vagy diák a szokásos síkgeometriai példagyűjtemények idevágó részét a gömbön is feldolgozza.

Lássuk hát Thaleszt!

Tekintsünk a síkon egy O középpontú, r sugarú kört! Írjunk a körbe olyan ABC háromszöget, amelynek AB oldala a kör valamelyik átmérője, C csúcsa pedig a két félkör egyikére esik. Kössük össze O-t C-vel: így az ABC háromszöget az AOC és BOC háromszögekre bontottuk, amelyek mindketten egyenlőszárúak, hiszen két-két oldaluk az r sugárral egyenlő. Ebből következik, hogy az alapon fekvő a és b szögek megegyeznek a C csúcsnál levő, <ACO, illetve <BCO szögekkel. Más szóval, az ABC háromszögben a C csúcsnál lévő c szög az AB alapon fekvő két szög összegével egyenlő: c=a+b. Tudjuk, hogy a síkháromszög szögösszege 180°, ezért 180=a+b+c=2(a+b)=2c, ahonnan c=90°. Síkon tehát a Thalesz-háromszög mindig derékszögű háromszög.

Mi marad mindebből érvényben a gömbön?

A síkbéli szerkesztés minden lépését megismételhetjük, csak a háromszög szögösszegét nem tudjuk egyértelműen megadni. Az alapon lévő a és b szögek itt is összeadódnak a c szögben, viszont itt a háromszög szögösszege 180°és 540°közé esik. Itt tehát, a síkbeli esettel ellentétben, 2(a+b)=2c bizonyosan nagyobb 90°-nál, vagyis nem lehet derékszög!

Látjuk, hogy a derékszöggel kapcsolatos állítás itt nem érvényes. Tudunk-e bármi pozitívumot, igaz állítást találni az elvesztett derékszög helyett?

Tekintsük a C ponttal átellenes C' gömbi pontot, és vizsgáljuk meg az ABC' háromszöget, amely az ABC gömbháromszög egyik kiegészítő gömbháromszöge. Az A csúcsnál lévő szög (180-a)°, a B csúcsnál lévő szög pedig (180-b)° lesz. A C' csúcsnál viszont a CAC'BC gömbkétszög másik szöge, vagyis c=a+b szerepel. Összeadjuk a három szöget: (180-a)+(180-b)+(a+b)= 360°.

Akárhol vesszük is fel tehát a C csúcsot, az átmérő másik oldalára eső gömbháromszög szögösszege állandó lesz - akár kicsi volt az eredeti kör, akár nagy. Ha figyelembe vesszük, hogy a gömbháromszög területét a gömbi fölösleggel, vagyis (a+b+c)-180-nal mérhetjük, akkor azt mondhatjuk, hogy bármelyik gömbi Thalesz-háromszög kiegészítő háromszögének területe 360-180=180 gömbi területegység, vagyis éppen egy negyedgömb lesz.

Egy kicsit nehezebb állítás

A Thalesz-gömbháromszög alappal szemben fekvő c szöge, az eddigiek szerint, nem lehet derékszög - de vajon nem lehet-e valamilyen más, állandó érték? Például, nem lehetséges-e, hogy megadott körben a c szög mindig pontosan 100° vagy 111° vagy 153° lesz?

Látható, hogy adott gömbi Thalesz-háromszöghöz mindig találhatunk további három, szimmetrikus helyzetű háromszöget, amelyeknél a c szög biztosan azonos. Azt állítom, hogy ezeken a szimmetrikus helyzetű háromszögeken kívül nem lehetséges két olyan, azonos alapú Thalesz-gömbháromszög, amelyekben a harmadik szög megegyezne egymással.
Tegyük fel az állítással ellentétben, hogy az ábrán látható ABC¹ háromszög c¹ szöge és az ABC² háromszög c² szöge megegyeznek: c¹=c², vagyis a¹+b¹=a²+b². Az ábra AC¹D és BC²D háromszögeiben a D-nél lévő szögek megegyeznek, mert csúcsszögek. Az A-nál lévő szög a¹-a²-vel, a B-nél lévő szög b²-b¹-gyel egyenlő. Az a¹+b¹=a²+b² egyenlőség átrendezésével viszont a¹-a²=b²-b¹ adódik. Mindebből az következik, hogy feltételeink szerint az AC¹D és BC²D háromszögek mindhárom szöge megegyezik. Gömbön azonban a három szög egyenlőségéből a két háromszög egybevágósága következik, vagyis a harmadik csúcsnál lévő szögek valóban csak a szimmetrikus esetekben lehetnek egyenlőek egymással!

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten