Magyarországon a logaritmus fogalmának kiépítését a tizenegyedik évfolyamon a hatványozás egészről racionális racionális (érdeklődőbb vagy emelt szintű osztályokban valós) kitevőre való általánosítása és az exponenciá1ís függvény vizsgálata előzi meg.
A tisztán algebrai definíciónk szerint„ A b szám a alapú logaritmusa az a kitevő, az a kitevő, amelyre a-ti emelve a-ti emelve b-t kapunk, ahol a egytől különböző pozitív szám, b pedig pozitív szám. Jelölése:Jelölése:szerint„ A b szám a alapú logaritmusa az a kitevő, az a kitevő, amelyre a-ti emelve a-ti emelve b-t kapunk, ahol a egytől különböző pozitív szám, b pedig pozitív szám.
Jelölése:
(Sokszínű matematika 11. p. 93) A könyv könyv megemlíti még, hogy a 10-es alapú logaritmust lg-vel, az e alapú logaritmust ln-nel jelöljük. A A hatványozás azonosságainak és az exponenciális függvény tulajdonságainak segítségével négy (esetleg, a gyök logaritmusára vonatkozó azonossággal öt) azonosságot bizonyítunk.
A kiépítés módjának eredményeként a tanulók egy olyan logaritmusfogalmat kapnak, amellyel „könnyen” tudnak számolni, jól átlátható és hetedikként belehelyezkedik a már már definiált műveletek sorába. (Sokszínű matematika 11. p. 93) A könyv könyv megemlíti még, hogy a 10-es alapú logaritmust lg-vel, az e alapú logaritmust ln-nel jelöljük. A A hatványozás azonosságainak és az exponenciális függvény tulajdonságainak segítségével négy (esetleg, a gyök logaritmusára vonatkozó azonossággal öt) azonosságot bizonyítunk.
Ezzel szemben Franciaországban Franciaországban a logaritmus fogalmát függvénytani függvénytani úton közelítik meg a természettudományos és a és a gazdasági érettségire készülő végzős osztályokban. Ezzel szemben Franciaországban Franciaországban a logaritmus fogalmát függvénytani függvénytani úton közelítik meg a természettudományos és a és a gazdasági érettségire készülő végzős osztályokban.
A deriválás és a határozatlan integrál kiépítése kiépítése után csak az csak az e-alapú logaritmust definiálják a következő képen: „A természetes alapú logaritmusfüggvény, amelyet ln-nel jelölünk, a pozitív valós számok halmazán értelmezett , 1-ben zérushellyel rendelkező primitív függvénye a reciprokfüggvénynek „A természetes alapú logaritmusfüggvény, amelyet ln-nel jelölünk, a pozitív valós számok halmazán értelmezett , 1-ben zérushellyel rendelkező primitív függvénye a reciprokfüggvénynek.
A definíció közvetlen következményeként említik, hogy
· · · · minden pozitív valós x-re,minden pozitív valós x-re,
· · · · lnln 1 = 0 1 = 0
· · · · lnlnx >0, ha x>1, és ln x <1, ha x 0 és 1 közötti valós szám. x >0, ha x>1, és ln x <1, ha x 0 és 1 közötti valós szám.
A logaritmus azonosságait szintén szintén függvénytani úton úton bizonyítják, melyek közül álljon itt példaként az összeg logaritmusára vonatkozó azonosság igazolása. A logaritmus azonosságait szintén szintén függvénytani úton úton bizonyítják, melyek közül álljon itt példaként az összeg logaritmusára vonatkozó azonosság igazolása.
Tétel:Tétel:
Minden pozitív valós a Minden pozitív valós a és és bb, esetén , esetén ln(ab) = ln a + ln b.ln(ab) = ln a + ln b.
Bizonyítás: Legyen a tetszőleges pozitív valós szám! Vizsgáljuk a pozitív számok halmazán értelmezett, f(x) = ln (ax) – (ln a + ln x) hozzárendelési szabállyal megadott függvényt!Legyen a tetszőleges pozitív valós szám! Vizsgáljuk a pozitív számok halmazán értelmezett, f(x) = ln (ax) – (ln a + ln x) hozzárendelési szabállyal megadott függvényt!
Az összetett függvény deriválási szabálya alapján:
tehát az f függvény konstans függvény. Nyilvánvaló, hogy
f(1) = f(a)-(ln a + ln 1) = 0, így bármely pozitív x-re f(x) = 0. Ekkor f(b) is 0, azaz
f(b) = ln (ab) - (ln a + ln b) = 0 , ahonnan (b) = ln (ab) - (ln a + ln b) = 0 , ahonnan ln(ab) = ln a + ln b.
Más tudományokban való hasznosságra hivatkozva, a nálunknálunkazonosságként bebizonyított formulával, az általuk log-gal jelölt, tízes alapú logaritmust is definiálják
Más alapú 1ogaritmussal nem foglalkoznak, tantervük meg sem említi. Más alapú 1ogaritmussal nem foglalkoznak, tantervük meg sem említi.
