Lusta pénztáros
Tarcsay Tamás
2004/06/24 07:59
1934 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
A valószínűségszámítás egyik ismert problémáját tárgyalja ez az írás. Egy érdekes animációt is tartalmaz, amivel játszani is lehet.
Ajánlható a karácsony előtti utolsó matematikaórára.

A probléma:

Egy moziban a jegyek egységesen 500 forintba kerülnek. A lusta pénztáros nem törődik azzal, hogy felkészüljön a munkájára, így váltópénz nélkül kezdi a napot.
Hosszú sor áll az ablaka előtt, minden vásárló egy jegyet akar venni. Minegyiküknél vagy egy darab ötszázas, vagy egy darab ezres van. Várhatóan hány mozilátogatót tud majd kiszolgálni a péztáros?

A következő animáció modellezi ezt a problémát. Talán érdemes tippelős játékot játszani vele. (A játékosok megtippelik, hogy hány vásárló fog jegyhez jutni, és akinek a tippje legközelebb lesz az eredményhez, az nyer.)
Az, hogy hány sorban álló kap jegyet, a véletlentől függ. Ha az elsőnél ezres van, akkor üres lesz a nézőtér a vetítés alatt. Ha az első néző ötszázassal rendelkezik, akkor biztosan legalább ketten megtekinthetik a filmet. Ha mindenki 500 forintossal jött, akkor mindenki megtekintheti a filmet.

A véletlen jelenségek pontos matematikai leírására (is) létrejött tudomány, a valószínűségszámítás ezt a problémát (és még nagyon sokat) a végtelen valószínűségi változó fogalmával modellezi.

Matematikai tárgyalás:

Legyen a kiszolgált sorban állók száma k. Ezen valószínűségi változó lehetséges értékeinek halmaza a természetes számok halmaza, hiszen tetszőleges számú ember kiszolgálása elképzelhető.

Annak valószínűsége, hogy senki sem kap jegyet, 1/2, hiszen ennyi annak a valószínűsége, hogy a sorban első embernek ezrese van. Ezt így Írjuk le:
P(k=0)=1/2.

Annak valószínűsége, hogy pontosan egy vásárló jut jegyhez, 0, mert a korábban tárgyaltak szerint, ez az esemény sohasem következhet be. Lehetetlen esemény, aminek a valószínűsége 0.
P(k=1)=0.

Annak valószínűsége, hogy pontosan két embert tud kiszolgálni a jegypénztár lusta dolgozója, 1/8. Ez az esemény akkor és csak akkor következhet be, ha az első három helyen [500, 1000,1000] a sorrend.
P(k=2)=1/8.

Tovább folytatva a vizsgálódásainkat, a következő sejtéshez juthatunk:
Ha l természetes szám, akkor
Ez a sejtés igazolható, de a bizonyítás leírása meghaladja e cikk kereteit.

Megjegyezzük, hogy a sejtésben szereplő valószínűségek adják a k valószínűségi változó eloszlásását.

A problémában megfogalmazott kérdés a k valószínűségi változó várható értékét kérdezi. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy átlagosan ennyi embert tud kiszolgálni a pénztáros.

A valószínűségelmélet szerint a várható értéket úgy kaphatjuk meg, hogy a lehetséges értékeket összeszorozzuk az eloszlásban szereplő valószínűségeikkel, és az így kapott szorzatokat összeadjuk.

Ez a jelen probléma esetében a következőt jelenti:
Ez egy végtelen sor, aminek az összegét kellene meghatározni.

Azt már régen gyanítottuk, hogy ezzel a várható értékkel baj lehet, mert a kísérleteink során a kiszolgált személyek számának átlaga "nem akart" egy szám körül ingadozni, de csak nemrégiben jutottunk hozzá Dr. Németh József tanár úr gondolatmenetéhez, amelyben a Stirling formula és a minoráns kritérium segítségével igazolta, hogy a fenti sor divergenes.

Ebből következően a k valószínűségi változónak nincs várható értéke.

Tarcsay Tamás

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten