A Számítógép a matematikában c. kurzusunk tematikája

Arany-dodekaéder Az első félévben egy hetet szoktunk azzal tölteni, hogy megismerkedünk a Word egyenletszerkesztőjével, a képletírás és készítés szabályaival, matematikai szövegek létrehozásával. Ezt az anyagrészt hallgatóinktól nem szoktuk direkt módon, dolgozat formájában számon kérni; a félév teljesítésének szükséges feltétele egy matematikai feladatsor számítógéppel történő kidolgozása, amelyben képleteknek és geometriai ábrának is szerepelnie kell. Tapasztalataink szerint az itt megszerzett ismereteiket eredményesen használják hallgatóink a szakdolgozat elkészítése során is.A matematikai szövegek létrehozása után az Internet felé fordítjuk figyelmünket. Ekkor meglátogatunk több magyar nyelvű matematikai "portált" (Sulinet Matematika rovata, JGYTF Matematika Tanszékének oldalai, Matematika-lap, Szülő-csatorna oldalai, Fazekas Gimnázium matematika oldalai,...), valamint néhány nem magyar nyelvű oldalt is. Itt főleg különböző matematikai fogalmak megértését segítő animációkat keresünk (pl. interaktív geometria JAVA-val), vagy a matematika egy-egy területének számítógépes modelljét (pl. Bolyai geometria, NonEuclid), esetleg egy konkrét feladat számítógépes szimulációját (például életjáték). Az interneten való kutakodást általában a böngészőprogramok használatának bemutatása zárja. Ezzel ismét a szakdolgozatírást szeretnénk megkönnyíteni. Az internethasználatra általában két hetet szoktunk szánni.

Két programmal, amelyek nem ismeretlenek rovatunk olvasói előtt sem, külön órán szoktunk foglalkozni. Ezeket a programokat a www.peda.com oldalról lehet letölteni; az egyik a Poly, a másik a GrafEq. A Poly programmal való ismerkedés során áttekintjük az egyes poliéder-kategóriákat, valamint megbeszéljük a program által felkínált különböző nézetek matematikai hátterét. A program használata kapcsán megbeszéljük, hogy melyek azok az általános iskolások számára kitűzhető feladatok, amelyek megoldását jelentősen megkönnyíti a program. Példaként említhetjük a csúcsok, lapok, élek összeszámlálását, Euler-tételének felfedeztetését, vagy karton-modellek készítését. Izgalmas kérdés az is, hogy az egyes jellemzők összeszámlálásához melyik nézet a legalkalmasabb? A GrafEq programról, és néhány módszertani kérdéséről korábbi írásunkban részletesen beszámoltunk.Az első félév legnagyobb részét a dinamikus geometriai szerkesztőprogramok teszik ki. A gyakorlatokon az Euklides programot használjuk; a Cinderella és a Cabri csak egy-egy példa erejéig szokott előkerülni. Minden évben választható feladatként szoktuk adni néhány szerkesztőprogram összehasonlító elemzését, és örvendetes, hogy már számos érdekes írás született ebben a témakörben. A dinamikus szerkesztőkkel való ismerkedés során először a programok tipikus szolgáltatásait beszéljük meg (interaktivitás, beépített szerkesztések, nyomvonal, animáció, szerkesztés visszajátszása) egy-egy példa kapcsán. Tapasztalataink szerint az első két hét elegendő szokott lenni a programhasználat elsajátítására. Már az első ismerkedés során felhívjuk hallgatóink figyelmét néhány módszertani kérdésre (pl. a beépített szerkesztések használatának veszélyeire, vagy arra, hogy a program nem helyettesíti a bizonyítást). Igyekszünk olyan példákat is mutatni, amelyekben a megjelenített nyomvonal "szögletessége" motiválja a bizonyítást, vagy az ábra alapján sikerül rossz sejtést kialakítani a hallgatókban. Külön hangsúlyt fektetünk a szerkesztések és szerkesztési feladatok "interaktív diszkusszióval" történő vizsgálatára, annak előnyeire, illetve a határesetek vizsgálatára.

A későbbiek során számos mértani helyes probléma számítógéppel támogatott megoldása, illetve különböző animációk készítése (pl. Simson-egyenesek seregének, vagy különböző típusú körsorok megjelenítése) következik.

A dinamikus geometriával való ismerkedés következő fázisában inkább a matematika kerül előtérbe. Interaktív eszközökkel vizsgáljuk az inverziót, valamint oldjuk meg az Apollonius-féle körérintési feladatokat (legalábbis közülük néhányat). Animációt készítünk ellipszis előállítására tengelyes affinitás felhasználásával, valamint a konjugált átmérők megjelenítésére. Számos feladatot oldunk meg, és animációt készítünk kúpszeletekkel kapcsolatban, megvizsgáljuk a parabola, valamint a hiperbola legfontosabb tulajdonságait. A félév vége felé animációt készítünk cikloisok ábrázolására. Ha marad idő, akkor megmutatjuk a makró-készítés technikáját is, bár tapasztalatunk szerint ezt a funkciót a hallgatóink a mindennapi használat során nem szokták kihasználni.

A Matematikai szoftverek c. kurzusunk tematikája

MAPLE-lel készült kép A kurzus a második félévben a VRML nyelv 1.0-ás változatával, valamint egy számítógép algebrai rendszerrel (esetünkben a MAPLE programmal) foglalkozik. Mielőtt a hallgatók megismerkednének a VRML nyelvvel, néhány, a szabályos poliéderek megjelenítését támogató, előre elkészített ábrát nyitunk meg. Utána fokozatosan megismerkedünk a nyelv építőelemeivel. Az első térbeli ábra, amit elkészítünk, általában egy kocka, valamint egy abba írt szabályos tetraéder. Tapasztalataink szerint hallgatóinknak nem annyira a térbeli számítások, valamint a tér elemi analitikus geometriája jelenti a kihívást, hanem a nyelv szintaktikájának pontos elsajátítása.
Amikor a hallgatók már megismerkedtek a (matematikai szempontból) legfontosabb VRML utasításokkal, akkor néhány elemi térgeometriai feladatot oldunk meg a szokásos, tehát számítógépet nem használó módszerekkel. A "hagyományos" megoldás után a hallgatók azt a feladatot kapják, hogy tervezzenek a feladat megoldásához VRML képeket, majd készítsék el azokat. Ilyenkor módszertani szempontok alapján mérlegelniük kell, hogy egy-egy ábrában mely síkmetszeteket, és mely vonalakat jelenítik meg. Didaktikai szempontból ezt a munkamódszert rendkívül hatékonynak véljük.
A VRML nyelv tanulmányozása nagyjából a félév felét tölti ki, és zárthelyi dolgozattal zárul. Emellett minden hallgató a félév elején húz (vagy választ) egy térgeometriai feladatot, amelyet a félév végéig kell megoldania, valamint a megoldáshoz egy "interaktív óratervet" kell mellékelnie, néhány kidolgozott VRML ábrával.A félév második felében a hallgatók számára sokkal nagyobb kihívást jelentő MAPLE rendszerrel ismerkedünk. Röviden összefoglaljuk, hogy milyen elvárásokat támasztunk egy szimbolikus algebrai rendszerrel szemben, majd megismerkedünk a MAPLE alaputasításaival (számábrázolás, számelméleti utasítások, kifejezések kiértékelése, egyenletmegoldás, határértékszámítás,...). Ezek után néhány példát mutatunk arra, hogy a program a matematikaoktatás mely területein használható. Készítünk munkalapokat a függvény transzformációk, valamint a függvényvizsgálat (függvénydiszkusszió) tanításához. Sajnos idő hiánya miatt a bevezető analízis előadások anyagában csak "nyomokban" fedezhető fel a görbék különböző megadási módszerei (paraméteres, polárkoordinátás megadás). Úgy gondoljuk, hogy a szimbolikus rendszerek alkalmazásával ez a témakör szintén jól tanítható, ezért a gyakorlatokon erre is időt szakítunk. Emellett numerikus módszereket is mutatunk hallgatóinknak, hiszen a szükséges számításokat a számítógép pillanatok alatt elvégzi, meggyorsítva ezzel a munkát (például Simpson-formula a határozott integrál közelítésére). Ilyen algoritmusokkal általában csak a számítástechnika szakos hallgatók találkoznak korábban.
A félév vége felé felületek és kétváltozós függvények ábrázolásával, valamint (ha erre még van idő) egy-két egyszerűbb animáció elkészítésével is foglalkozunk.
A második félév teljesítése (tapasztalatunk szerint) nagyobb gondot okoz a hallgatóknak, mint az első félévé. Ennek okai közt többek között a matematikai ismeretek (a második félévben ez jóval nagyobb szerepet kap, mint az elsőben) hiányosságait, valamint az algoritmikus gondolkodás hiányát is említhetjük. Emellett a MAPLE és VRML nyelv szintaktikájának elsajátítása, valamint az angol nyelvű hibaüzenetek és help-rendszer megértése is gondot szokott okozni.

Mindezek ellenére nagyon jó tapasztalataink vannak a kurzust illetően. A hallgatókkal folytatott beszélgetések során kiderült, hogy komoly szemléletformáló, és motiváló ereje van a számítógéppel segített matematikaoktatásnak. Hallgatóink gyakran mondják, hogy a megismert programokat mindenképpen használni fogják majd munkájuk során. Ugyanakkor azt is meg kell említeni, hogy nagyon kevés visszajelzésünk van arra vonatkozóan, hogy hányan használják ténylegesen valamelyiket a tanításban. Simson-egyenesek

Árki Tamás