Egy korábbi anyagunkban már szóltunk arról, hogy egy matematikai fogalomrendszer felépítéséhez először is az alapfogalmakat kell megadnunk. Ezek után az alapfogalmak későbbiekben felhasznált tulajdonságait axiómákban rögzítjük, majd további fogalmakat definiálunk, tételeket fogalmazunk meg és bizonyítjuk is azokat. Az így létrejött gondolati rendszert akkor tekintjük jónak, ha ellentmondásmentes, azaz nincs olyan tétel amely annak tagadásával együtt bizonyítható benne.
A geometriai alapfogalmak tekintetében teljes egyetértés alakult ki a matematikusok körében a múlt századra és ez uralkodik ma is. A geometria legelső alapfogalma a pont. Bizonyos ponthalmazokat is alapfogalmaknak tekintünk, ezek az egyenes és sík. Ha egy eleme egy egyenesnek vagy síknak, akkor azt mondjuk, hogy a pont illeszkedik az egyenesre vagy a síkra.
Az axiómákat csoportokba szokták foglalni. (Bizonyos eltérés ezen a téren megfigyelhető az egyes tárgyalásokban, de lényegében ekvivalens állítás-rendszereket szoktak megfogalmazni.)
Beszélhetünk az alábbi axióma-családokról:
- Illeszkedési axiómák
- Rendezési axiómák
- Egybevágósági axiómák
- Folytonossági axióma
- Párhuzamossági axióma
Az utóbbi 5) számot viselő axiómát külön is kiemeljük. Ez így hangzik: A sík tetszőlegesen kiválasztott A pontján legfeljebb egy olyan síkbeli egyenes halad át, amelyik egy adott e egyenessel párhuzamos.
Ez volt az az axióma, amely megbolygatta a geometriát.
Ha az említett 5 axiómacsoport mindegyikét elfogadva építünk fel egy gondolati rendszert, akkor az Euklideszi geometriához jutunk. Ez az a geometria, amelyet a közoktatásban szinte elsöprő többségben tanulnak a gyerekek.
Voltak olyan matematikusok, akik úgy gondolták (Bolyai János), hogy az 5) axióma elhagyható, és a megmaradt 4 axiómacsoporttal (maradék axiómarendszer) építettek ki egy geometriát, amit abszolút geometriának nevezünk.
Olyan út is kínálkozott, hogy az 5) egy másikkal cseréljék fel és így újabb geometriákat kaptunk (hiperbolikus geometria, projektív geometria, inverzív geometria).
Látható tehát az, hogy ennek cikknek a címe nem pontos, hiszen a kérés egyes számban van megfogalmazva, és amint az előbbiekből következik többes számban kellett volna feltenni a kérdést.
