Az indus (másképp kínai vagy sziámi) módszer

Az bizonyos, hogy Délkelet-Ázsiában találták ki a módszert, feltehetően még a Krisztus előtti időkben. Gyakorlatilag számolás nélkül, csak a számok leírásával is elvégezhető, és megtalálunk pl. az ötödrendű bűvös négyzeteknél egyet a közel hatszázezerből.

1. ábra Írjuk az 1-et az egyik oldal mellé a középső mezőbe! Átlós irányba kifele írjuk a következő számot, de minden ilyen kilépésnél ugyanabban a sorban vagy oszlopban a másik oldalon belépünk - a színezéssel ezt szeretnénk szemléltetni -, majd továbbra is átlós irányban folytatjuk a kitöltést mindaddig, amíg foglalt mezőhöz nem érkezünk. Ekkor a következő számot közvetlenül az utoljára beírt szám mellé, a kilépéssel ellenkező irányba írjuk, mivel példánkban "felfelé" léptünk ki - az 1. ábrán - a 6-ot az 5 "alá" írjuk. 2. ábra A kitöltést az eredeti átlós irányba folytatjuk, amíg ismételten foglalt mezőhöz nem jutunk (lásd: 2. ábrán a 10 után a 11, illetve a 15 után a 16). Ezzel a módszerrel befejezhetjük a kitöltést, majd ellenőrizzük az összegeket (3. ábra). 3. ábra A számok összege minden sorban, minden oszlopban és a két átlóban is 65, ami megegyezik a számított (1+2+3+...+23+24+25)/5/=(26*25/2)/5=13*5=65 összeggel. A fenti táblázatok, valamint egy üres, kitölthető 5x5-ös EXCEL táblázat letölthető, a külső mezőbe írt számokat az EXCEL automatikusan a megfelelő belső mezőbe helyezi el! (Letöltés!)

A lóugrásos módszer

Az indus módszer viszonylag egyszerű, de csak egy megoldást ad. Az 1300-as évek közepétől ismerjük a lóugrásos módszert, amelynek általános szabálya: itt is valamelyik oldal középső mezőjébe írjuk az 1-et, majd a sakkból jól ismert lóugrás szabálya szerint - pl. kettőt jobbra, egyet le - befelé indulunk el a következő mezőre. Ha ez még szabad, beírjuk a következő számot, ha már foglalt, akkor a "kettő" irányába - példánkban jobbra - az utoljára beírt szám sorába (oszlopába) négyet lépünk, és ide írjuk a következő számot. Mivel a ló befelé is négy irányba indulhat, a tükörképektől eltekintve már két különböző megoldást kapunk.

A hárommal nem osztható, páratlan rendű bűvös négyzetek kitöltését azonban bárhol kezdhetjük, az ilyen esetekben kettőnél több megoldást kapunk.
A következőkben egy hetedrendű bűvös négyzet kitöltését mutatjuk meg. Mivel a hét nem osztható hárommal, nem szükséges az egyik oldal középső mezőjénél kezdeni a kitöltést.
4. ábra

A lóugrással mindig a megkezdett irányba (jelen esetben kettőt jobbra, egyet le) haladunk. A 7 beírása után olyan mező következne, amely már foglalt (1), ilyenkor a "kettő" irányába - jelen esetben jobbra - négyet lépünk, és az utoljára leírt szám sorába - oszlopába - írjuk a következő számot. (4. ábra).

5. ábra

A kitöltést folytatva hasonlóan járunk el a 14 beírása után is, de a jobbra kilépés után a baloldalon folytatjuk a számolást (5. ábra), és hasonlóan folytatva kitölthetjük a táblázatot - az ellenőrzéssel meggyőződhetünk arról, hogy valóban egy bűvös négyzetet kaptunk.

6. ábra Kissé bonyolultabb eljárás, mint az indus módszer, de előnye, hogy több bűvös négyzetet is kitölthetünk vele.
Lóugrással kitölthető, üres ötöd-, heted-; kilenced- és tizenegyed rendű bűvös négyzetek (EXCEL táblázat) letölthetők, de itt a belső mezőkbe írt számokat helyezi el az EXCEL automatikusan a megfelelő külső mezőbe! (Letöltés!)

Az átlós módszer

Talán a legismertebb és legegyszerűbb módszer Claude-Gaspar Bachet de Méziriac francia matematikus nevéhez fűződik. Mintegy száz évvel Dürer után élt, és 1635-ben megjelent De la traduction című könyvét napjainkban is kiadják - kár, hogy magyarul nem hozzáférhető.

Itt kell megjegyeznünk, hogy Bachet de Méziriac egyik kortársa, a szintén francia Frénicle de Bessy elkészítette az összes - 880 darab- negyedrendű bűvös négyzet csoportosítását.

Az átlós módszer lényege az, hogy megrajzoljuk a kitöltendő n-ed rendű bűvös négyzet átlóit, a keletkező háromszögeket a szomszédos oldalakra tükrözzük, így egy nxn egységnégyzetből álló alakzatot kapunk, amely valamelyik csúcsánál levő négyzetbe elkezdjük beírni a számokat (7. ábra).
7. ábra A négyzet egyik oldala mentén kívül maradt mezők ugyanúgy helyezkednek el, mint a szemközi oldal mellett belül üresen maradt mezők, csúsztassuk - ugyanabban az elrendezésben - a külsőket az üresen maradt belső mezők helyére. Az így kapott, már teljesen kitöltött négyzet bűvös négyzet lesz (8. ábra). 8. ábra A módszer vitathatatlanul egyszerű, de ennek az az ára , hogy ismét csak egy megoldást kapunk. (Átlós módszerrel kitölthető, üres bűvös négyzetek - letöltés.)

Vannak további kitöltési eljárások, amelyek a páratlan rendű bűvös négyzetekre mindig alkalmazhatóak (pl. de La Hire), de összetettségük miatt kevésbé közismertek.

Konfár László