Poliéder
2003/06/12 08:00
3286 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
A előző cikkünkben fontos síkgeometriai fogalmakat ismertünk meg. Most ezek felhasználásával mód nyílik arra, hogy a poliéder fogalmát definiáljuk.

Poliédertestnek nevezzük a tér azon véges sok sokszöge által határolt részét, amely nem tartalmaz félegyenest (azaz korlátos). A poliédertestet határoló bármely sokszöglap bármely éle egyúttal éle legalább egy másik sokszöglapnak is. Magát a poliédertestet határoló sokszögeknek - a poliéder lapjainak - az összességét poliéder felületnek nevezzük. Poliéderen érthetjük a poliédertestet, vagy a poliéderfelületet is. Ha a szövegkörnyezetből nem derül ki, hogy melyikre gondolunk, akkor kell csak ezt külön hangsúlyoznunk. A poliéder csúcsai az őt határoló sokszögek csúcsai, élei e sokszögek élei. A poliéder minden csúcsára legalább három lap, így legalább három él illeszkedik. (Mivel a legkevesebb oldalszámú sokszög a háromszög, ezért az is igaz, hogy a poliéder minden lapjára legalább három csúcs, így legalább három él illeszkedik. )

Egy poliédert akkor tekinthetünk adottnak, ha egyértelműen megadjuk a csúcsait - pl. térbeli koordinátáikkal - , továbbá egyértelműen megadjuk a lapjait a szomszédos csúcsok ciklikus felsorolásával.

Egy poliéderfelület összefüggő, ha bármely két pontja összeköthető olyan töröttvonallal, amelynek minden pontja illeszkedik a felületre. Hasonlóan: egy poliédertest összefüggő, ha bármely két belső (azaz a felületre nem illeszkedő) pontja összeköthető olyan töröttvonallal, amelynek a poliéderfelülettel nincs közös pontja. Egy poliéder élhálózata összefüggő, ha bármely csúcsból bármely csúcsba eljuthatunk a poliéder élein haladva.

Ezek akapján például egyetlen poliédernek tekinthető két teljesen különálló kocka is, bár ha sem a poliédertest sem a poliéderfelület, sem a poliéder élhálózata nem összefüggő, akkor ezt az alakzatot nem szoktuk egyetlen poliédernek tekinteni.

Ez a P16 poliédertest nem összefüggő, bár a poliéderfelület és élhálózata az.

Képzeljük el azt az összefüggő poliédertestet, amelyet két, egymásba illesztett, egymással nem összefüggő poliéderfelületet (pl. kocka) határol.
A P17 poliédertest a belső kockán "kívüli", és a külsőn "belüli" térrész, így a poliédertest összefüggő, a poliéder felület nem összefüggő, következésképpen az élhálózat sem az.

Egy poliéder közönséges, ha a poliédertest összefüggő, minden csúcsára teljesül, hogy az erre illeszkedő lapok - ebből adódóan az élek is - elrendezhetők egy ciklikus sorrendbe úgy, hogy a ciklus szomszédos lapjai szomszédos (közös éllel rendelkező) lapok legyenek, továbbá teljesül, hogy a lapoknak nem lehet közös belső (azaz a sokszög határvonalára nem illeszkedő) pontjuk. (Ez a feltétel zárja ki, hogy a közönséges poliéder felület önátmetsző legyen.) A közönséges poliéder minden élére szükségképpen pontosan két lap és pontosan két csúcs illeszkedik. Ugyancsak szükségszerű, hogy a közönséges poliéder minden lapja közönséges sokszög. A közönséges poliéder felületének bármely pontja köré írt tetszőlegesen kicsi sugarú gömbnek - a felületre illeszkedő pont (térbeli) környezetének - lesz a poliédertesthez tartozó és nem tartozó része is. P16 poliéder nem közönséges, P17 vagy P18 azonban igen. Figyeljük meg, hogy P17 felülete nem összefüggő.

A P18 közönséges poliéder test, ill. felület összefüggő, az élhálózata azonban nem.

A P19 poliéder egyszerű sokszögekkel (jelen esetben négyszögekkel) határolt közönséges poliéder, így az élhálózata szükségképpen összefüggő.

A közönséges poliéderek minden éléhez tartozik egy lapszög. Ennek a meghatározásához vegyünk fel egy olyan tetszőlegesen kicsi sugarú kört, melynek a középpontja az él egy tetszőleges belső pontja, síkja merőleges a vizsgált élre. Ennek a körlapnak a poliédertesttel alkotott közös része egy körcikk. Ennek a körcikknek a középponti szögét nevezzük az él lapszögének.

Egy lapszög lehet konvex (P20), vagy konkáv (P21).

A közönséges poliéder egy csúcsára illeszkedő lapjainak a csúcsra illeszkedő élszögei (belső szögei) két részre osztják a teret. E két rész közül azt tekintjük a poliéder adott csúcsához tartozó testszögletének, amelyre teljesül, hogy a csúcs köré írt bármilyen kicsi sugarú gömbnek a poliédertesttel alkotott közös része, valamint a testszöglettel alkotott közös része ugyanaz. (Ugyanez másképpen: a csúcs környezetének a poliédertesthez, ill. a csúcs testszögletéhez tartozó része megegyezik.) A poliéder egy adott csúcsához tartozó testszöglete lehet, hogy tartalmazza a teljes poliédert (P22), de nem feltétlenül (P23). Ezért nem mondhattuk azt, hogy a poliéder egy csúcsára illeszkedő élszögek által meghatározott térrészek közül azt tekintjük testszögletnek, amelyik tartalmazza a poliédert. A testszöglet fogalma a poliéder fogalmától függetlenül is kiépíthető.

Egy testszöglet valamely éléhez tartozó lapszöget a poliéder lapszögéhez hasonló módon értelmezhetjük. A poliéder valamely élének a lapszöge egyben az él végpontjaihoz tartozó testszögletek lapszöge is. Egy testszöglet szabályos, ha minden élszöge, valamint minden lapszöge egyenlő. A szabályos testszöglet elmetszhető olyan síkkal, amely a testszöglet minden élével ugyanakkora szöget zár be. Ennek a síknak a lapszög határoló felületével alkotott metszésvonala szabályos sokszög.

A szabályos testszögletet általánosabban értelmezve megengedhetjük, hogy a határoló felülete önátmetsző is lehet, ekkor az előbbi értelemben vett síkmetszet is önátmetsző szabályos sokszög.

A közönséges poliédereknek egy fontos jellemzője az ún. összefüggőségi szám. Egy közönséges poliéder N -szeresen összefüggő, ha a felületén fel tudunk venni N-1 darab olyan egyszerű zárt töröttvonalat, amely mentén felvágva nem feltétlenül esik szét a felület két különálló részre, de bárhogyan veszünk is fel N darab ilyen töröttvonalat, feltétlenül szétesik. (A poliéderfelületnek ez a tulajdonsága ún. topológiai tulajdonság, ami azt jelenti, hogy ha a felületet egy tetszőleges folytonos transzformációnak vetjük alá, akkor ez a tulajdonsága megmarad.)

A P24 közönséges poliéder felülete egyszeresen összefüggő, amelynek az élhálózata nem összefüggő, a P19 háromszorosan összefüggő közönséges poliéder, melynek minden lapja egyszerű sokszög.

Megjegyezzük, hogy a háromszorosan összefüggő poliéderfelületek folytonos deformálással tórusszá, az egyszeresen összefüggők gömbbé alakíthatók. Kétszeresen összefüggő közönséges poliéderfelület pedig nem létezik. (Tórusznak nevezzük azt a felületet, amelyet úgy származtathatunk a körből, hogy körbeforgatjuk egy a síkjában fekvő olyan egyenes körül, amelynek nincs a körrel közös pontja. )

Egyszerű poliédereknek nevezzük azokat a közönséges poliédereket, amelyek felülete egyszeresen összefüggő, és minden lapja egyszerű sokszög. Minden konvex poliéder egyszerű, de nem minden egyszerű poliéder konvex.

P25 , P26 és P27 egyszerű poliéderek.

A P25 és P26 poliéderk nem konvexek, azonban a P25 poliéder csúcsaink tudunk olyan új koordinátákat adni, hogy a lapok és csúcsok elrendezését , (illeszkedését, szomszédosságát) megtartva konvex poliédert kapjunk: P27 . (Azt mondjuk, hogy P25 és P27 felülete és élhálózata topológiailag ekvivalens, azaz homeomorf.) Ha két poliéder felülete és élhálózata homeomorf, vagyis csak a csúcsainak az egymáshoz viszonyított helyzetében - koordinátáiban - van eltérés közöttük, akkor topológiailag azonosnak tekintjük őket. Érdekes kérdés annak a vizsgálata, hogy hány topológiailag különböző 4, 5, 6 .. N lapú egyszerű poliéder létezik. Próbálja megadni az olvasó a választ pl. N=7-re. (Terveink szerint később egy önálló weblapon vissza fogunk térni a kérdésre.)

A P26 poliédernek van két olyan lapja, melyek két él mentén is szomszédosak. Ez okozza, hogy a vele megegyező élhálózatú poliéderek egyike sem realizálható konvex poliéder formájában.

Az egyszerű poliéderek körében érvényes Euler poliédertétele, amely szerint egy egyszerű poliéder lapjai és csúcsai számának az összege 2-vel nagyobb, mint az élek száma:

L + C - E = 2

Egy poliéder(test) konvex, ha bármely két pontját összekötő szakasz minden pontja a poliédertesthez tartozik. Minden konvex poliéder egyszerű, azonban van olyan egyszerű poliéder, amely nem realizálható konvex poliéder formájában. Minden közönséges poliédernek van konvex lapszöge is. Ha egy poliéder minden lapszöge konvex, akkor maga a poliéder is konvex.

Szabályos poliéder

az, amelyre teljesül, hogy

* konvex,
* élei egyenlők,
* élszögei egyenlők
* lapszögei egyenlők.

Ezzel egyenértékű az a alábbi két definíció:

# konvex,
# lapjai szabályosak,
# lapjai egybevágók,

vagy:

- konvex,
- testszögletei szabályosak;
- testszögletei egybevágók

E három definíció közül bármelyiket elfogadva, a másik két tulajdonság-csoport bizonyítható (és bizonyítandó) tételnek tekintendő.

A szabályos poliédereknek egy általánosabb értelmezéséhez jutunk, ha a fenti meghatározásból elhagyjuk a konvex megszorítást, helyette megengedjük, hogy a lapjai, vagy a testszögletei önátmetszők is lehetnek. Így a szabályos poliéderek köre kibővül. A nem konvex szabályos poliéderek az ún. szabályos csillag-poliéderek.

Egy poliéder topológiai értelemben szabályos, ha a poliéderfelület egyszeresen összefüggő (azt mondjuk, hogy homeomorf a gömbbel) minden csúcsába ugyanannyi él fut be, és minden lapjának ugyanannyi éle van. Pl. topológiai szempontból szabályos poliéder bármely téglatest, vagy általában egy négyszög alapú csonkolt gúla. Igazolható, hogy ötféle topológiailag szabályos poliéder létezik, és ezek mindegyike realizálható konvex szabályos poliéder formájában.

Félig-szabályos poliéder

az, amelyre teljesül, hogy:

* konvex,
* lapjai szabályosak,
* testszögletei egybevágók

vagy a fenti tulajdonságok helyett az teljesül, hogy

# konvex,
# lapjai egybevágók,
# testszögletei szabályosak

Ez a két definíció tehát nem egyenértékű. Az egyik, vagy másik feltételnek különböző poliéderek felelnek meg. Eszerint két különböző típusú félig-szabályos poliéder létezik. Azt mondjuk, hogy minden egyik értelemben vett félig-szabályos poliédernek létezik az un. duális poliédere, amely a másik értelemben vett félig szabályos poliéder. A poliéderek közötti duális kapcsolat többféle (topológiai, projektív geometriai, metrikus) összefüggést takar, amely önmagában is érdekes vizsgálódás (később elkészítendő weblap) tárgya lehet.

Vegyük észre, hogy a félig szabályos poliédereknek ez a definíciója úgy állt elő, hogy a szabályos poliéderrel szemben támasztott követelmények egy részét elhagytuk. Eszerint minden szabályos poliéder egyszersmind félig szabályos is. Ugyancsak ide tartozik bármely szabályos N oldalú hasáb - más elnevezéssel prizma, melynek az oldallapjai négyzetek, valamint a szabályos háromszögekből és két darab N oldalú szabályos sokszögből előálló alakzat az un. szabályos antiprizma: P28 Ilyen félig-szabályos poliéder pl az, amelynek minden csúcsára három négyzet és egy szabályos háromszög illeszkedik: P29 . Ennek van egy centrálisan nem szimmetrikus "csavart" változata is, melyet úgy kaphatunk, hogy az egyik szabályos nyolcszögre épülő "kupoláját" elfordítjuk 45 fokkal: P30 .

Arkhimédészi poliéderek

Arkhimédészi poliédereknek nevezzük azokat a félig szabályos poliédereket, melyek lapjai legalább kétféle szabályos sokszögek (ezzel kizártuk közülük a szabályosakat, valamint a másik értelemben vett félig szabályosakat), nem hasábok, nem antiprizmák, és nincs közöttük az előbbi csavart kupolájú P30 poliéder. Igazolható, hogy 13 különböző arkhimédészi poliéder (arkhimédészi test) létezik.

Az arkhimédészi poliéderek duálisaira - melyeknek a testszögletei szabályosak és a lapjai egybevágók - használatos a katalán poliéder elnevezés.

Néha - szűkebb értelemben - csak az arkhimédészi és a katalán poliédereket nevezik félig szabályos poliédereknek.


A konvex poliédereknek egy érdekes csoportját alkotják az ún. Johnson poliéderek, melyeknek a lapjait 3- ,4- ,5- ,6-, 8- vagy 10 oldalú szabályos sokszögek, és nem tartoznak az előbbi csoportok egyikébe sem. Összesen 92 db ilyen poliéder létezik.

A fent említett konvex poliéderek alaposabb megismeréséhez nagy segítséget nyújthat a POLY nevű (cél)szoftver, melynek a kizárólagos feladata ezeknek a poliédereknek a bemutatása. Ezt az igen látványos programot a szerző weblapjáról, innen tölthetik le az érdeklődők: http://www.peda.com/


Toroid a topológiailag tórusz szerű közönséges (de nem egyszerű) poliéder. Pl.: P18 , vagy P19. Minden toroid felülete háromszorosan összefüggő. Ha egy toroid felületét egyszerű sokszögek határolják, (mint pl. a P19 poliédert) akkor lapjainak, csúcsainak és éleinek a száma között fennáll az

L + C - E = 0

összefüggés, amely az Euler-tétel egy általánosításának a toroidokra való alkalmazásaként adódik.

Magasabb összegüggőségi számú toroidok is konstruálhatók, melyek homeomorfak (felületük topológiailag ekvivalens) valamelyik több, mint egy "lyukkal" rendelkező tórusszal.


A topológiailag tórusz-szerű poliéderek körében is értelmezhető a 'szabályos" jelző, amely itt topológiai összefüggéseket jelent: szabályos toroidnak nevezzük azt a tórusz szerű poliédert, amelyenek minden lapja egyszerű sokszög, és minden csúcsára ugyanannyi lap, minden lapjára ugyanannyi csúcs illeszkedik. (Pl. a P19 poliéder olyan szabályos toroid, amelynek 4 fokszámú lapjai, és 4 fokszámú csúcsai vannak.)

Dr. Szilassi Lajos

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten