Ha közvélemény-kutatást tartanának arról, hogy ki volt az Ókor legnagyobb matematikusa, valószínűleg Euklidesz nyerne. Ha ezután azt is megkérdeznénk, hogy ismerünk-e Euklideszről elnevezett tételt, sokan kételkedni kezdenének az előbbi válaszukban, hiszen tételhez kötve a görög neveket, Pitagorasz vagy Thalész jut az eszünkbe.
A geometria szó hallatán is az emberek többsége rögtön rá gondol, holott ő nemcsak geometriával foglalkozott, hanem korának matematikai ismereteit rendszerezte. Bár bizonyára vannak önálló felfedezései is, ezeket nem különítette el könyveiben, a róla elnevezett euklideszi szerkesztés lépéseit viszont nem ő fogalmazta meg először, hanem valószínűleg Platón. Inkább pedagógus volt, mint matematikus, mégis a legnagyobb matematikusok között emlegetjük a nevét. Ismertsége elsősorban az ELEMEK című könyvének köszönhető, amelyben többek között leírja, hogy milyen eszközökkel milyen lépéseket hajthatunk végre:
Megengedett szerkesztési lépések
- Két egyenes metszéspontjának a kijelölése.
- Két körvonal metszéspontjainak a kijelölése.
- Egyenes és körvonal metszéspontjainak a kijelölése.
- Két ponton át egyenes rajzolása a vonalzóval.
- Két pont távolságának a körzőnyílásba vétele a körzővel.
- Adott pont körül a körzőnyílásba vett távolsággal körvonal rajzolása.
Az euklideszi szerkesztésnél használatos vonalzónak és a körzőnek végtelen hosszúnak kellene lenni, hogy bármely két ponton keresztül tudjunk egyenest rajzolni, és hogy bármely két pont távolságát körzőnyílásba vehessük.
Rajzolások
Ha az említett eszközökön és lépéseken kívül más eszközt is felhasználunk (két vonalzó, szögmérő, derékszögű vonalzó), vagy más lépést is megengedünk (párhuzamos csúsztatás, forgatás), akkor már nem beszélhetünk euklideszi szerkesztésről, ezt célszerűbb inkább rajzolásnak nevezni.
Az ötödik osztályban merőlegest általában két vonalzó segítségével rajzolunk, pedig ezt egy derékszögű vonalzóval is megtehetjük:
Merőleges rajzolására még jól lehet használni a szögmérős vonalzókon található hálót is.
Nagyon elterjedt a két vonalzóval való merőleges állítás: a derékszögű vonalzó átfogóját az adott egyeneshez illesztjük, egy másik vonalzót az egyik befogó mellett rögzítünk, majd a derékszögű vonalzót 90 fokkal elforgatjuk. Ez utóbbi módszer sok ötödikesnek jelent gondot, mert fogatással igazából még nem találkozott, a részletesebb tárgyalása csak hetedik osztályban lesz.
A szögmérős vonalzót párhuzamos egyenesek rajzolásához is használhatjuk, de erre a célra a "gurulós vonalzó", az úgynevezett rollergraf is megfelel. Bár ez utóbbi használata nálunk nem igen terjedt el: helyette maradt a hagyományos, két vonalzós csúsztatás: a derékszögű vonalzó egyik élét az adott egyeneshez illesztjük, majd a másik vonalzó mentén csúsztatjuk, eltoljuk. Az eltolás részletesebb tárgyalása is csak hetedik osztályban lesz, de ezt az ötödikesek is jobban átlátják.
Szerkesztések a következő oldalon!Szerkesztések a szimmetrikus négyszögek tulajdonságai alapján
A jelenleg forgalomban levő tankönyvek mindegyike előbb veszi az euklideszi szerkesztést, majd később vizsgálja a tengelyes szimmetriát. Pedig sokkal könnyebb lenne fordítva, és ekkor a tengelyesen szimmetrikus négyszögek tulajdonságait felhasználhatnánk a szerkesztésekhez, ehhez egy lehetséges felépítés:
Tengelyes szimmetria
Tengelyesen szimmetrikus háromszögek
- A deltoid
- A húrtrapéz
- A rombusz
- A téglalap
- A négyzet
E sokszögek mindegyike definiálható tengelyes szimmetriával, és az oldalakra, szögekre és átlókra vonatkozó összefüggéseket is könnyen megfogalmazhatjuk.
A fenti négyszögek közül külön meg kell említenünk a húrtrapézt: e fogalom még ma sem általánosan elfogadott, sokan azonosítják az egyenlőszárú trapézzal (a paralelogramma is az!) vagy a tengelyesen szimmetrikus trapézzal (a rombusz is az!), huszonegynéhány éve még lehetett matematika szakos tanári oklevelet szerezni e fogalom ismerete nélkül is.
Szögfelező szerkesztése
A rombusz minden oldala egyenlő és szimmetriatengelye két szögnek a szögfelezője, ezért
- A szög csúcsából tetszőleges körzőnyílással körívet rajzolunk.
- E körív és a szögszárak metszéspontjaiból ugyanezzel a körzőnyílással köríveket rajzolunk.
- E két körív metszéspontját összekötjük a szög csúcsával.
Merőleges szerkesztés egy adott egyenesre egy adott pontjából
Az egyenest tekintsük egyenesszögnek, ennek szerkesszük meg a szögfelezőjét:
- Az adott pont körül tetszőleges körzőnyílással körívet rajzolunk.
- E körív és az egyenes metszéspontjai körül egyenlő - az előbbi sugárnál nagyobb - sugárral köríveket rajzolunk.
- E két körív metszéspontjait összekötjük az adott ponttal.
Merőleges szerkesztés egy adott egyenesre egy külső pontból
Az adott pont körül a pont és az egyenes távolságánál nagyobb körzőnyílással körívet rajzolva egy egyenlőszárú háromszög csúcsait kapjuk. Felezzük meg e háromszög szárszögét:
- Az egyenlőszárú háromszög alapjának végpontjai körül az alap felénél nagyobb sugarú köríveket rajzolunk.
- E körívek metszéspontját kössük össze a szárszög csúcsával (az adott ponttal)
Párhuzamos egyenesek szerkesztése a következő oldalon
Párhuzamos egyenesek szerkesztése
A tengelyes szimmetriával való szerkesztések igazi előnye, rövidsége a következő szerkesztési feladatnál derül ki:
Adott az e egyenes és e rá nem illeszkedő P pont. Szerkesszünk P ponton át az e egyenessel párhuzamos egyenest!
- A III. és IV. éves főiskolás hallgatók többsége a következő módon végzi el a szerkesztést:
A P pontból az e egyenesre merőlegest f egyenesre állít. - Az f egyenesre, a P pontba merőlegest állít.
A szerkesztés természetesen korrekt, de nagyon hosszadalmas. Már az is rövidítést jelent, ha a 2. lépés helyett körzőnyílásba vesszük a PT távolságot, és a szakaszra négyzetet szerkesztünk.
További könnyítést jelent, ha az f merőlegest sem szerkesztjük meg, hanem a P ponton keresztül egy tetszőleges g egyenest rajzolunk, amely metszi az e egyenest, és az e és a g egyenesek által bezárt szöget átmásoljuk P pontba.
Paralelogramma szerkesztésére is visszavezethetjük a feladatot: Vegyünk fel az e egyenesen egy tetszőleges O pontot, majd O pont körül tetszőleges körzőnyílással rajzoljunk körívet (R pont), majd ugyanazzal a körzőnyílással P körül is rajzoljunk körívet (S pont). Mivel OR=PS és OP=RS, a négyszög paralelogramma, a P és S pontokon áthaladó f egyenes párhuzamos lesz e-vel.
Jelenlegi ismereteim szerint a legegyszerűbb párhuzamos szerkesztési módnál a rombusz tulajdonságait használjuk ki. P pont körül tetszőlegessugarú, az e egyenest Q pontban metsző kört rajzolunk, a Q pont köré ugyanazzal a körzőnyílással kört rajzolunk, amely az e egyenest R pontban metszi, majd az R pont köré ugyanazzal a körzőnyílással kört rajzolunk, amely az első körvonalat S pontban metszi. Mivel a PQRS négyszögnek minden oldala egyenlő hosszúságú, a négyszög rombusz, PS egyenese párhuzamos lesz QR egyenesével.
