Andrej Nyikolajevics Kolmogorov
A valószínűségszámítás, mint matematikai tudományág megjelenését a véletlen jelenségek matematikai vizsgálhatósága iránti igény idézte elő. Természetes tehát, hogy mielőtt a valószínűségszámítás tárgyalásába fogunk, szót kell ejteni a véletlenről is. Az írásunk forrásául választott dolgozatban egy tanulságos gondolatmenet található, ajánljuk mindenkinek a figyelmébe.
A dolgozat gondolatmenetét követve felépítünk egy modellt, aztán megvizsgáljuk, hogy ez a modell mennyire jó.
Klasszikus valószínűségszámítási modell
A valószínűségszámításban használatos fogalmak
- kísérlet
- kimenetel
- esemény
- lehetetlen esemény
- biztos esemény
Ha az olvasó ezeknek a fogalmaknak jelentésével és tartalmával nincs tisztában, érdemes utánanézni a dolgozatban. Célszerűnek tűnik, hogy korábban elmlített, a leíró statisztikában szerepelt fogalmaknak (relatív gyakoriság, módusz, átlag, medián, szórás) valamiféle megfelelőt találjunk. A relatív gyakoriság azt jelenti, hogy egy adott adathalmazban egy adat hányszor fordul elő. Ha a valószínűségről az a képünk van, hogy adott számú kísérletből az esemény bekövetkezéseinek száma arányos a bekövetkezésének valószínűségével, akkor a valószínűségre a relatív gyakoriságnak megfelelő értéket kell adnunk.
Ez vezet a Laplace-féle klasszikus modellhez, ami szerint egy esemény valószínűségét megkaphatjuk úgy, hogy a jó esetek számát elosztjuk az összes esetek számával. Ügyelnünk kell arra, hogy az "összes esetek száma" olyan eseteket tartalmazzon, melyek bekövetkezése egyformán valószínű, ezek az úgynevezett elemi események. Kis gondolkodással arra a következtetésre juthatunk, hogy ebben a modellben a biztos esemény valószínűsége 1, a lehetetlen eseményé pedig 0. Annak eldöntése, hogy milyen események tekinthetők elemi eseményeknek, az nem könnyű dolog. Ennek módszeréről olvashatunk Magyar Zsolt tanár úr dolgozatában is.
A szerző tárgyalja a "három kocka" problémát, aminek tanulmányozásához egy korábbi írásunkban már szerepelt programot is ajánlhatunk.
Hasonlóan kiváló terep az elemi események előfordulásának vizsgálatára az úgynevezett kocka-póker játék. Ennek elemzése is szerepel a forrásul választott dolgozatban.
Aki gyakorlatban is tanulmányozni akarja ezt a játékot, az interneten több olyan oldalt találhat, ami ezt modellezi.
Néhányat megemlítünk
Az urna modell
A legtöbb véletlen esemény modellezésére alkalmas az úgynevezett urna-modell. Legyen egy adott esemény bekövetkezésének valószínűsége p=K/N. Tegyünk egy urnába K db fehér, és N - K db fekete golyót, és húzzunk ki egy golyót az urnából! Ekkor az esemény bekövetkezte megfelel a fehér golyó húzásának, az esemény be nem következte a fekete golyó húzásának.
Ennek segítségével ki tudjuk számítani, hogy pl. n db kísérletből hányszor következik be egy adott esemény. Az előzőekben ismertetett urnából húzzunk n-szer, visszatevéssel (tehát a kihúzott golyót mindig visszatesszük, azaz mindig K/N eséllyel húzunk fehéret). Mi a valószínűsége, hogy k-szor húztunk fehér golyót? (Azaz mi a valószínűsége, hogy az A esemény k-szor következett be?). A dolgozatban részletezett meggondolással kapjuk, hogy
Ezt az erdményt a későbbiekben még sokszor fogjuk használni.
