Valószínűségszámítás és statisztika IV.
Tarcsay Tamás
2004/01/26 08:00
2870 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Magyar Zsolt tanár úr - a Közoktatási Modernizációs Közalapítvány által támogatott - dolgozata alapján készült sorozatunk folytatódik. Edddig a statisztikai adatok ábrázolásáról, a statisztikai közepekről és a középértékek "jóságának" mérőszámairól írtunk.Most a valószínűségszámítás alapismereteinek tárgyalása következik.

Andrej Nyikolajevics Kolmogorov

A valószínűségszámítás, mint matematikai tudományág megjelenését a véletlen jelenségek matematikai vizsgálhatósága iránti igény idézte elő. Természetes tehát, hogy mielőtt a valószínűségszámítás tárgyalásába fogunk, szót kell ejteni a véletlenről is. Az írásunk forrásául választott dolgozatban egy tanulságos gondolatmenet található, ajánljuk mindenkinek a figyelmébe.

A dolgozat gondolatmenetét követve felépítünk egy modellt, aztán megvizsgáljuk, hogy ez a modell mennyire jó.

Klasszikus valószínűségszámítási modell

A valószínűségszámításban használatos fogalmak

  • kísérlet
  • kimenetel
  • esemény
  • lehetetlen esemény
  • biztos esemény

Ha az olvasó ezeknek a fogalmaknak jelentésével és tartalmával nincs tisztában, érdemes utánanézni a dolgozatban. Célszerűnek tűnik, hogy korábban elmlített, a leíró statisztikában szerepelt fogalmaknak (relatív gyakoriság, módusz, átlag, medián, szórás) valamiféle megfelelőt találjunk. A relatív gyakoriság azt jelenti, hogy egy adott adathalmazban egy adat hányszor fordul elő. Ha a valószínűségről az a képünk van, hogy adott számú kísérletből az esemény bekövetkezéseinek száma arányos a bekövetkezésének valószínűségével, akkor a valószínűségre a relatív gyakoriságnak megfelelő értéket kell adnunk.

Pierre-Simon Laplace

Ez vezet a Laplace-féle klasszikus modellhez, ami szerint egy esemény valószínűségét megkaphatjuk úgy, hogy a jó esetek számát elosztjuk az összes esetek számával. Ügyelnünk kell arra, hogy az "összes esetek száma" olyan eseteket tartalmazzon, melyek bekövetkezése egyformán valószínű, ezek az úgynevezett elemi események. Kis gondolkodással arra a következtetésre juthatunk, hogy ebben a modellben a biztos esemény valószínűsége 1, a lehetetlen eseményé pedig 0. Annak eldöntése, hogy milyen események tekinthetők elemi eseményeknek, az nem könnyű dolog. Ennek módszeréről olvashatunk Magyar Zsolt tanár úr dolgozatában is.

A szerző tárgyalja a "három kocka" problémát, aminek tanulmányozásához egy korábbi írásunkban már szerepelt programot is ajánlhatunk.

Hasonlóan kiváló terep az elemi események előfordulásának vizsgálatára az úgynevezett kocka-póker játék. Ennek elemzése is szerepel a forrásul választott dolgozatban.

Aki gyakorlatban is tanulmányozni akarja ezt a játékot, az interneten több olyan oldalt találhat, ami ezt modellezi.

Néhányat megemlítünk

Az urna modell

A legtöbb véletlen esemény modellezésére alkalmas az úgynevezett urna-modell. Legyen egy adott esemény bekövetkezésének valószínűsége p=K/N. Tegyünk egy urnába K db fehér, és N - K db fekete golyót, és húzzunk ki egy golyót az urnából! Ekkor az esemény bekövetkezte megfelel a fehér golyó húzásának, az esemény be nem következte a fekete golyó húzásának.

Ennek segítségével ki tudjuk számítani, hogy pl. n db kísérletből hányszor következik be egy adott esemény. Az előzőekben ismertetett urnából húzzunk n-szer, visszatevéssel (tehát a kihúzott golyót mindig visszatesszük, azaz mindig K/N eséllyel húzunk fehéret). Mi a valószínűsége, hogy k-szor húztunk fehér golyót? (Azaz mi a valószínűsége, hogy az A esemény k-szor következett be?). A dolgozatban részletezett meggondolással kapjuk, hogy Ezt az erdményt a későbbiekben még sokszor fogjuk használni.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten