Vektorok vegyesszorzata
Tarcsay Tamás
2004/11/25 15:19
4522 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.
Korábbi cikkeinkben már szót ejtettünk a vektorok skaláris szorzatáról és vektoriális szorzatáról. Megemlítettük e szorzatok geometriai jelentését is.

Most egy újabb, geometriai jelentéssel bíró vektorszorzatról írunk.

Vektorok vegyesszorzata

Három vektor vegyesszorzatán értjük az első vektornak és a másik két vektor vektoriális szorzatának a skaláris szorzatát: (abc) = a(b×c).
Megmutatható, hogy ha a(a1,a2,a3), b(b1,b2,b3) és c(c1,c2,c3), akkor a három vektor vegyesszorzatának értékét a következő determináns adja:

Ez a rövidebb írásmódja a következő kifejezésnek:

(abc) = a1(b2c3 - b3c2) + a2(b3c1 - b1c3) + a3(b1c2 - b2c1).

Felhasználva a skaláris szorzat és vektoriális szorzat abszolút értékére vonatkozó korábbi ismereteinket, kapjuk, hogy az (abc) abszolút értéke az a, b és c vektorok által kifeszített parallelepipedon térfogatával egyenlő, ami az e vektorok által kifeszített tetraéder térfogatának hatszorosa.

Az eddig tárgyalt ismeretek felhasználhatók feladatok frappáns megoldására.
Következzen itt néhány probléma, vegyesszorzatos megoldással! Hangsúlyozzuk, nem állítjuk, hogy az itt közölt megoldások a legegyszerűbbek, a legkézenfefvőbbek, sőt kifejezetten ajánljuk az olvasóink számára, hogy keressenek az itt közöltektől elviekben is eltérő megoldásokat.

Feladatok:

1. Adjuk meg az A(2,3,-1), B(5,-2,3) és C(1,2,3) pontokon átmenő sík egyenletét!

2. Egy kocka két kitérő élegyenesén mozog egy-egy egységnyi hosszúságú szakasz. Mikor lesz e szakaszok végpontjai által meghatározott tetraéder térfogata maximális, minimális?

3. Legyen a = i + j, b = j - i és c = i + k. Komplanárisak (egysíkúak)-e az a, b és c vektorok?

4. Van-e olyan 0-tól különböző vektor, amely merőleges az a(4, 2, -1), b(1, 2, -2) és a c(5, -2, 4) vektorok mindegyikére? Ha van ilyen, akkor adjunk meg egyet!


Az 1. feladat megoldása:

1. Legyen a vizsgált sík tetszőleges pontja a P(x, y, z) pont! Képezzük a következő vektorokat és adjuk meg a koordinátájukat!
Az A, B , C és P pontok akkor és csak akkor vannak egy síkban, ha a fenti három vektor által kifeszített parallelepipedon térfogata 0, azaz
Ez a keresett ponthalmaz egyenlete.

A 2. feladat egy megoldása:

Tekintsük meg a következő ábrát!
Az ABCDEFGH kocka éle legyen d!
Ekkor a feladat megoldása szempontjából fontos pontok koordinátái:

K(0, k, 0), L(0, k+1, 0), N(n, 0, d) és M(n+1, 0, d).

Ekkor a vizsgált tetraéder M csúcsából induló vektorok koordinátái:
Ekkor a három vektor vegyesszorzata:
azaz a keresett tetraéder térfogata állandó.

A többi feladat megoldását az olvasóra bízzuk.

Tarcsay Tamás

Irodalom:

Strohmajer János: Geometriai példatár II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1992.

Csatlakozz hozzánk!

Ajánljuk

European Schoolnet Academy Ingyenes online tanfolyamok tanároknak
School Education Gateway Ingyenes tanfolyamok és sok más tanárok számára
ENABLE program Program iskoláknak a bullying ellen
eBiztonság Minősítés Minősítési rendszer oktatási intézményeknek
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten